专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明.doc

专题提升(十一)　以平行四边形为背景的计算与证明 类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明 【经典母题】 图Z11－1 已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD， ∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF. 【思想方法】　(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题； (2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分． 【中考变形】 图Z11－2 1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE. 求证：AF＝CE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF. ∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF. ∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE. 图Z11－3 2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH， ∵E，F分别为AD，BC边的中点， ∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC， ∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF. ∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF， ∴∠AEG＝∠CFH， 在△AEG和△CFH中， ∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH. 【中考预测】 图Z11－4 [2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∵BE＝DF，∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形； (2)如答图，∵四边形AECF是菱形， ∴AE＝EC， 中考预测答图 ∴∠1＝∠2， ∵∠BAC＝90°， ∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1， ∴∠3＝∠4，∴AE＝BE， ∴BE＝AE＝CE＝BC＝5. 类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【经典母题】 如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数． 　 图Z11－5 　　 经典母题答图 解：如答图，连结AC. ∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点， ∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD， ∴△ABC，△ACD均为等边三角形， ∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°. 【思想方法】　要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 【中考变形】 图Z11－6 1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (2)只需添加一个条件，即__AD＝BC__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明． 解：(1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS)； (2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下： ∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°， 由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°， ∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)． 图Z11－7 2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴AB∥DC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(ASA)， ∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形； (2)当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴x2＝42＋(6－x)2， 解得x＝，∵BD＝＝2， ∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF， ∴OE＝＝，∴EF＝2EO＝. 图Z11－8 3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD中，∠ABD， ∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB， ∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC， ∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC， ∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF， 又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形； (2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由： ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°， ∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED， 又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形． 图Z11－9 4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点． (1)求证：△ADF≌△ABE； (2)若BE＝1，求tan∠AED的值． 解：(1)证明：正方形ABCD中， ∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADF＝∠ABE＝90°， 在△ADF与△ABE中， AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE， ∴△ADF≌△ABE(SAS)； (2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1， ∴AE＝，ED＝＝5， ∵S△AED＝ED·AH＝AD·BA＝， ∴AH＝， 在Rt△AHD中，DH＝＝， ∴EH＝ED－DH＝，∴tan∠AED＝＝. 图Z11－10 5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形． 证明：(1)在△ADE与△CDE中， ∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD， ∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD， ∵AD＝CD，∴BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形； (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC， ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3， ∴∠CBE＝180×＝45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 6．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形EFGH面积的最小值． 　 　　　　　图Z11－11　 　中考变形6答图 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA， ∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)， ∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG， ∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形， ∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°， ∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形； (2)直线EG经过正方形ABCD的中心． 理由：如答图，连结BD交EG于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠EBD＝∠GDB， ∵AE＝CG，∴BE＝DG， ∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)， ∴BO＝DO，即O为BD的中点， ∴直线EG经过正方形ABCD的中心； (3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x， 在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32， ∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2， ∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2. 【中考预测】 如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF. 图Z11－12 (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC. ∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD. 又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE； (2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD. ∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； (3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由： ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF. 又∵CF为公共边， ∴△BCF≌△DCF(SAS)， ∴∠CBF＝∠CDF. ∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°， ∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD， ∴∠EFD＝∠BCD.