专题40 与圆有关的位置关系-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点四十：与圆有关的位置关系 聚焦考点☆温习理解 一、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 二、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： [来源:Zxxk.Com] （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r； 直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r； 直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r； 切线的判定和性质 ： （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。 切线长定理 ： （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。 （2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角。 （3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。 (4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 三、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-r<d<R+r（R≥r） 两圆内切d=R-r（R>r） 两圆内含d<R-r（R>r） 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、直线与圆的位置关系 【例1】（2017广西百色第11题）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（ ）学科+网 A． B． C. D． 【答案】D 【解析】 则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选D 考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系和一次函数的图象与性质，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系． 【举一反三】 在平面直角坐标系中，直线经过点A（－3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将⊙P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）学*科网 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C． 【解析】 考点典例二、切线的性质及判定 【例2】（2017广西贵港第24题）如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆. （1）求证：是的切线； （2）若求的半径. 【答案】(1)证明见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切； （2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论． 试题解析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图， ∵PA=PD， ∴弧AP=弧DP， ∴OP⊥AD，AE=DE， ∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB， ∴直线AB与⊙O相切； （2）连结BD，交AC于点F，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DB与AC互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC=， ∴AF=4，tan∠DAC==， ∴DF=2， ∴AD==2， ∴AE=， 在Rt△PAE中，tan∠1==， ∴PE=， 设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R， 在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2， ∴R2=（R﹣）2+（）2， ∴R=， 即⊙O的半径为． 考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形． 【点晴】本题考查了圆的有关性质的综合应用，灵活运用知识解决问题是本题的解题关键． 【举一反三】 （2017江苏徐州第16题）如图，与⊙相切于点，线段与弦垂直，垂足为，则 ．学+科网 【答案】60°． 【解析】 试题解析：∵OA⊥BC，BC=2， ∴根据垂径定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=． ∴∠A=30°． ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 考点：切线的性质. 考点典例三、圆和圆的位置关系 【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（　　） 　 A． 12 B． 8 C． 5 D． 3 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3． 故选D． 考点：圆与圆的位置关系． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系.注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和. 【举一反三】 如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（ ） A．60° B．45° C．30° D．20° 【答案】C． 【解析】 试题分析：如答图，连接O1O2，AO2， ∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C， ∴AO1=AO2=O1O2. ∴△AO1O2是等边三角形. ∴∠AO1O2=60°. ∴∠ACO2的度数为30°．[来源:Zxxk.Com] 故选C． 课时作业☆能力提升 一．选择题 1．（2016湖南湘西州第18题）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定　[来源:学|科|网Z|X|X|K] 【答案】A． 考点：直线与圆的位置关系． 2. （2017浙江宁波第9题）如图，在中，，，以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 试题解析：如图，连接OD，OE ∵AC，AB是圆O的切线 ∴OE⊥AC，OD⊥AB ∵O是BC的中点 ∴点E，点D分别是AC，AB的中点 ∴OE=AB，OD= AC ∵OE=OD ∴AC=AB ∵BC=2 由勾股定理得AB=2 ∴OE=1 的弧长==. 故选B. 3. （2017贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题解析：连接BD． ∵AB是直径，∴∠ADB=90°． ∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC． ∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC=， ∴cos∠A=cos∠BOC=． 又∵cos∠A=，AB=4， ∴AD=． 故选B． 4. （2017江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　） [来源:Z|xx|k.Com] A．5 B．6 C．2 D．3 【答案】C. 【解析】 试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E． ∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320， ∴AB•DH=32O， ∴DH=16， 在Rt△ADH中，AH==12， ∴HB=AB﹣AH=8， 在Rt△BDH中，BD=， 设⊙O与AB相切于F，连接AF． ∵AD=AB，OA平分∠DAB， ∴AE⊥BD， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°， ∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°， ∴△AOF∽△DBH， ∴， ∴， ∴OF=2． 故选C．[来源:学科网ZXXK] 考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．学科+网 5.已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切 【答案】D. 【解析】 考点：圆与圆的位置关系． 6. （2017四川自贡第10题）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】B. 【解析】 试题解析：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=40°， ∴∠POA=90°﹣40°=50°， ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO=25°， 故选B． 考点：切线的性质. 7. （2016贵州遵义第12题）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半径相等． 在Rt△BC中，AB=4，BC=3，∴AC==5，∴⊙P的半径r===1． 连接点P、Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP=90°，如图所示． 在Rt△QEP中，QE=BC﹣2r=3﹣2=1，EP=AB﹣2r=4﹣2=2，∴PQ===．故选B． 考点：三角形的内切圆与内心；矩形的性质． 二．填空题 8. （2016湖南永州第20题）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知： （1）当d=3时，m=　　　　　　； （2）当m=2时，d的取值范围是　　　　　　． 【答案】（1）1；（2）0＜d＜3． 【解析】 试题分析：（1）当d=3时，因3＞2，即d＞r，直线与圆相离，则m=1，；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，可得直线与圆相交或相切或相离，所以0＜d＜3，即d的取值范围是0＜d＜3. 考点：直线与圆的位置关系． 9. （2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________ 【答案】． 【解析】 试题解析：连接AP，PQ， 当AP最小时，PQ最小， ∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小， ∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0， ∴AP==3， ∴PQ=． 考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质. 10. （2017黑龙江齐齐哈尔第15题）如图，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】80° 【解析】 试题分析：∵AC是⊙O的切线，∴∠C=90°，∵∠A=50°，∴∠B=40°，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=40°， ∴∠COD=2×40°=80° 考点：切线的性质． 11. （2017上海第17题）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是　 　． 【答案】8＜r＜10 【解析】 试题分析：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AC=AD=4， ⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8； 如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时， ⊙A的半径为：AB=AD=5， ⊙B的半径为：r=2AB=10； ∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10． 故答案为：8＜r＜10． 考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.勾股定理. 三、解答题 12. （2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD∽△CBE； （2）求半圆O的半径的长 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 试题分析： 试题解析： （1）∵CD切半圆O于点D， ∴CD⊥OD， ∴∠CDO=90°， ∵BE⊥CD， ∴∠E=90°=∠CDO， 又∵∠C=∠C， ∴△COD∽△CBE． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 13. （2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E. （1）求证：DE是圆O的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】： 试题分析：利用思路：知（连）半径，证垂直，证明DE是圆O的切线；利用射影定理或相似三角形证明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的长. 试题解析：(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线. （2）由（1）知∠BEC=90° 在RtΔBEC与RtΔBCA中，∠B为公共角， ∴ΔBEC∽ΔBCA ∴ 即BC2=BE×BA ∵AE:EB=1：2，设AE=x，则BE＝2x，BA=3x. 又∵BC=6 ∴62=2x×3x ∴x=,即AE=. 考点：圆切线判定定理及相似三角形 14. （2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题； （2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可 试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB=， ∴B（，2）． ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD． ∴直线CD是⊙M的切线． 考点：切线的判定；坐标与图形性质． 15. （2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G． （1）求证：BC是⊙F的切线； （2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为；（3）AG=AD+2CD．证明见解析. 试题解析：（1）连接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线； （2）连接FD， 设⊙F的半径为r， 则r2=（r-1）2+22， 解得，r=，即⊙F的半径为； 考点：圆的综合题． 23 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！