专题30 图形的轴对称-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点三十：图形的轴对称 聚焦考点☆温习理解 1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点． 2．图形轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．对应线段、对应角相等． 3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．学科！网 4. 轴对称与轴对称图形 轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系； 两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系． 名师点睛☆典例分类 考点典例一、识别轴对称图形 【例1】（2017重庆A卷第2题）下列图形中是轴对称图形的是（　　） 【答案】C. 【解析】 试题解析：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选C． 考点：轴对称图形. 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形． 【举一反三】 1. （2017山东烟台第2题）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 【答案】A． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 2. （2017江苏盐城第3题）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） 【答案】D． 【解析】 试题解析：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合， 故选D． 考点：轴对称图形. 考点典例二、作已知图形的轴对称图形 【例2】（2017浙江宁波第20题）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形(画出一个即可)； (2)将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】学科+网 试题分析：根据题意画出图形即可. 试题解析：（1）如图所示： 或 （2）如图所示： 考点：1.轴对称图形；2.旋转. 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形． 【举一反三】 （2017内蒙古呼和浩特第3题）如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） [来源:Z,xx,k.Com] 【答案】A 【解析】 试题分析：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）． 故选A． 考点：轴对称图形． 考点典例三、轴对称性质的应用 【例3】（2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　． 【答案】6. 【解析】 试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度； ∵正方形ABCD的边长为6， ∴AB=6． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=6． 故所求最小值为6． 考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质． 【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 【举一反三】 （2017江苏徐州第27题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点. （1）探求与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若分别为上的动点. ①当的长度取得最小值时，求的长度； ②如图③，若点在线段上，，则的最小值= . 【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②. 【解析】 （3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论． 试题解析：（1）AO=2OD， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°， ∴AO=OB， ∵BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠BDO=90°， ∴OB=2OD， ∴OA=2OD； （2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P， 则此时PN+PD的长度取得最小值， ∵BE垂直平分DD′， ∴BD=BD′， ∵∠ABC=60°， ∴△BDD′是等边三角形， ∴BN=BD=， ∵∠PBN=30°， ∴， ∴PB=； （3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′， 连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°， ∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形， ∴∠D′BQ′=90°， ∴在Rt△D′BQ′中， D′Q′=． ∴QN+NP+PD的最小值= 考点典例四、折叠问题 【例4】（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 【解析】 [来源:学科网] 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等． 【举一反三】 1. （2017江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D． 【解析】 试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3， ∴BC==5， ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB=， ∵•BC•AH=•AB•AC， ∴AH=， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形， ∵•AD•BO=•BD•AH， ∴OB=， ∴BE=2OB=， 在Rt△BCE中，EC= . 故选D． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理． 2. （2017浙江宁波第18题）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 .学科*网 【答案】-1． 【解析】 试题分析：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FM=DM×cos30°=， ∴MC=， ∴EC=MC-ME=-1． 考点：1.折叠问题；2.菱形的性质． 课时作业☆能力提升 1. （2017内蒙古通辽第4题）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义，可得： A是中心对称图形，故本选项不符合题意； B是中心对称图形，故本选项不符合题意； C是中心对称图形，故本选项不符合题意； D不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形 2. （2017郴州第2题）下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【答案】B． 【解析】 试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C不是轴对称图形，是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B． 考点：轴对称图形和中心对称图形.[来源:学+科+网] 3．（2017海南第6题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ） A.(-3，2) B.（2，-3） C.（1，-2） D.（-1，2） 【答案】B. 【解析】 试题分析：首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案． 如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．故选：B． 考点：平移的性质，轴对称的性质. 4．（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（ ） A． B． C. D． 【答案】C. 【解析】 在Rt△GHE中，∠HGE=30°， ∴GE=2HE=CE， ∴GH=． ∵GE=2BG， ∴BC=BG+GE+EC=4EC． ∵矩形ABCD的面积为4， ∴4EC•EC=4， ∴EC=1，EF=GE=2． 故选C． 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 5. （2017新疆乌鲁木齐第10题）如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A． B． C. D． 【答案】B． 【解析】 试题解析：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3， 则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1）， 作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， 所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1）， 连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小， 四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB =DP+DC+CQ+AB =PQ+AB = =4+2 =6， 故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题． 6. （2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】C. 【解析】 试题解析：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C. 考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质． 7. （2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　． 【答案】 【解析】 试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE， ∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD=45°， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE=PC， 设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x， ∴PD=EQ， ∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE=EF， 易证明△DEC≌△BEC， ∴DE=BE， ∴EF=BE， ∵EQ⊥FB， ∴FQ=BQ=BF， ∵AB=4，F是AB的中点， ∴BF=2， ∴FQ=BQ=PE=1， ∴CE=， Rt△DAF中，DF=， ∵DE=EF，DE⊥EF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DE=EF=， ∴PD==3， 如图2， ∵DC∥AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴， ∴CG=2AG，DG=2FG， ∴FG=， ∵AC=， ∴CG=， ∴EG=， 连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE=45°， ∴△GHF是等腰直角三角形， ∴GH=FH=， ∴EH=EF﹣FH=， ∴∠NDE=∠AEF， ∴tan∠NDE=tan∠AEF=， ∴， ∴EN=， ∴NH=EH﹣EN=， Rt△GNH中，GN=， 由折叠得：MN=GN，EM=EG， ∴△EMN的周长=EN+MN+EM=． 考点：1.折叠；2.正方形的性质. 8．（2017湖北咸宁第14题）如图，点的矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为 ．学*科网 【答案】6. 考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 9. （2017青海西宁第20题）如图，将沿对折，使点落在点处，若，则的长为___. 【答案】 【解析】 试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC， ∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB， 在△D′CF与△ECB中， ,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE， ∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF 设AE=x，则EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2， ∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x 在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2， 解得：x=AE= 考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质． 10.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=， 在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2， 在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为． 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题． 11. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是 ． 【答案】. 考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.[来源:Z+xx+k.Com] 12. （2017黑龙江齐齐哈尔第21题）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的； （3）求（2）中线段扫过的图形面积． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）线段OA扫过的图形面积为π． 【解析】 试题分析：（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可； （3）利用扇形的面积公式即可得出结论． 试题解析：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）∵OA= =5，∴线段OA扫过的图形面积==π． 考点：1.作图﹣旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图﹣轴对称变换． 13. （2017辽宁大连第25题）如图1，四边形的对角线相交于点，，，，. （1）填空：与的数量关系为 ； （2）求的值；学科%网 （3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长. 【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1. （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题； 试题解析：（1）如图1中， 在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB， ∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°． （2）如图1中，作DE∥AB交AC于E． ∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE， ∵OB=OD，∴△OAB≌△OED， ∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y， ∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°， ∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC， ∴，∴， ∴4y2+2xy﹣x2=0，∴， ∴（负根已经舍弃），∴． （3）如图2中，作DE∥AB交AC于E． 由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′， ∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°， ∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC， ∴△PA′D∽△PBC， ∴， ∴，即 ∴PC=1． 考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理. 14. （2017贵州六盘水第25题）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点. (1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求的最小值. 【答案】（1）详见解析；(2)2. 试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值． 试题解析： (1)如图，点P即为所求作的点. (2)由（1）可知，的最小值为的长， 连接,OB、OA ∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°， ∴ 又∵为的中点 ∴ ∴ ∴ 又∵MN=4 ∴ 在Rt△中， [来源:学_科_网] 即的最小值为2. 考点：圆，最短路线问题． 26 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！