专题15 二次函数-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点十五：二次函数 聚焦考点☆温习理解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。学科！网 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 2、二次函数中，的含义： 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x= 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，） 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、二次函数的图象 【例1】（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论： ①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】 试题解析：∵抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3）， ∴3=a（1﹣4）2﹣3， 解得：a=，故①正确； ∵E是抛物线的顶点， ∴AE=EC， ∴无法得出AC=AE，故②错误； 当y=3时，3=（x+1）2+1， 解得：x1=1，x2=﹣3， 故B（﹣3，3），D（﹣1，1）， 则AB=4，AD=BD=2， ∴AD2+BD2=AB2， ∴③△ABD是等腰直角三角形，正确； ∵（x+1）2+1=（x﹣4）2﹣3时， 解得：x1=1，x2=37， ∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误． 故选B． 考点：二次函数的图象与性质. 【点睛】根据二次函数的性质解决即可． 【举一反三】 1. （2017哈尔滨第4题）抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）． 故选B． 考点：二次函数的性质． 2.（广东省2017届初中毕业生学业考试模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法错误的是（　　） 学科+网 A. 对称轴是直线x=1 B. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3 C. 当x＜1，y随x的增大而增大 D. 当-1＜x＜3时，y＜0 【答案】C 【解析】A. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为-1、3,∴对称轴是直线，故正确； B.∵抛物线y=ax ²+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标分别为−1、3,∴方程ax ²+bx+c=0的根是x ₁=−1,x ₂=3，故正确； C.根据图象得抛物线对称轴为x=1，而抛物线开口方向向上，∴当x<1时，y随x的增大而减小，故错误； D. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，∴当-1＜x＜3时，y＜0，故正确； 故选C. 考点：二次函数的性质. 考点典例二、二次函数的解析式 【例2】（2017广西百色第17题）经过三点的抛物线解析式是 ． 【答案】y=﹣x2+ x+3. 考点：待定系数法求二次函数解析式． 【点晴】设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再把C（0，3）坐标代入二次函数y=a（x+2）（x﹣4）中，求出a的值即可. 【举一反三】 1. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）[来源:学科网ZXXK] 　 A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2 【答案】A． 2.（山东省临沂市郯城县红花镇初级中学等五校2017-2018学年九年级10月联考）对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　） A. y=﹣2x2+8x+3 B. y=﹣2x2﹣8x+3 C. y=﹣2x2+8x﹣5 D. y=﹣2x2﹣8x+2 【答案】C 【解析】根据题意,设y=a(x−2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以a+3=1，a=−2. 因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5. 故选：C. 考点典例三、二次函数的最值 【例3】（2017年北京市东城区中考数学二模）下列关于二次函数y=x2+2x+3的最小值的描述正确的是（　　） A. 有最小值是2 B. 有最小值是3 C. 有最大值是2 D. 有最大值是3 【答案】A 【解析】 试题解析：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2中，a＞0，∴二次函数y=x2+2x+3的最小值是2，故选A． 考点：二次函数极值. 【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（-1，2），即可求出函数的最大值． 【举一反三】 当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，则实数m的值为【 】 (A) (B) 或 (c)2或 (D)2或或 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由解得，此时，它在－2≤x≤l的最大值是，与题意不符. 当x=1时，由解得，此时，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.学科=网 当x= m时，由解得，此时. 对，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；对，它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或. 故选C． 考点典例四、二次函数的图象与性质 【例4】（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】 试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，[来源:学科网ZXXK] 所以①错误； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b同号， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0， 所以②正确； ③∵x=﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， ∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c＜0，即a＞c， 所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1， ∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， 所以④正确． 所以本题正确的有：②③④，三个， 故选C． 考点：二次函数图象与系数的关系． 【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案. 【举一反三】 1. （2017山东烟台第11题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②；③；④. 其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C. ①②③ D．①②③④ 【答案】C． 【解析】 试题解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1， ∴b=﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 而c＜0， ∴a+b+2c＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1， ∴b=﹣2a， 而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，所以④错误． 故选C． 考点：二次函数图象与系数的关系． 2.（湖北省随州市广水市广才中学2017届中考数学模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果：（1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0． 则正确的结论是（   ） A. （1）（2）（3）（4）      B. （2）（4）（5）         C. （2）（3）（4）       D. （1）（4）（5） 【答案】D （4）如图所示，由图象可知当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．故（4）正确； （5）由图象可知当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故（5）正确． 综上所述，正确的结论是（1）（4）（5）． 故答案为：D． 考点：抛物线的图象与系数的关系. 考点典例五、二次函数图象与平移变换 【例5】（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 试题解析：由图象，得y=2x2﹣2， 由平移规律，得y=2（x﹣1）2+1， 故选：C． 考点：二次函数图象与几何变换． 【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【举一反三】 1. （2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　） A．y＝ (x−2)2−2 B．y＝ (x−2)2+7 C．y＝ (x−2)2−5 D．y＝ (x−2)2+4 【答案】D． 【解析】 试题解析：∵函数y=（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m=（1-2）2+1=1，n=（4-2）2+1=3， ∴A（1，1），B（4，3）， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1）， ∴AC=4-1=3， ∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y=（x-2）2+4． 故选D． 考点：二次函数图象与几何变换． 2.（辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学2017届九年级上学期期中考试）把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A. y=2（x+3）2+4 B. y=2（x+3）2﹣4 C. y=2（x﹣3）2﹣4 D. y=2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】试题解析：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 考点典例六、二次函数的综合题 【例6】（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A． （1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式； （2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；学+科网 （3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系． 【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC． 【解析】 试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标； （3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系． 试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4； （2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8）， 则BN=n+2，CN=8﹣n． ∵B（﹣2，0），C（8，0）， ∴BC=10， 在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4， ∴点A（0，4），OA=4， ∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴ ∴， ∴ ∵﹣＜0， ∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大； （3）当N（3，0）时，N为BC边中点， ∵MN∥AC， ∴M为AB边中点， ∴OM=AB， ∵AB=，AC=， ∴AB=AC， ∴OM=AC． 考点：二次函数综合题． 【点睛】此题既考查了待定系数法求二次函数的解析式又考查了确定二次函数的最大值，同时把二次函数与相似三角形的性质结合在了一起，是典型的二次函数的综合题. 【举一反三】 （2017广西贵港第25题）如图，抛物线与轴交于 两点，与轴的正半轴交于点，其顶点为. （1）写出两点的坐标（用含的式子表示）； （2）设 ，求的值； （3）当是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 【答案】（1）C（0，3a），D（2，﹣a）；（2）3；（3）y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+． 【解析】 试题分析：（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标； （2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值； （3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式． 如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b， 把C、D的坐标代入可得，解得， ∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=， ∴E（，0）， ∴BE=3﹣= ∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3， ∴k=3； （3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a）， ∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2， ∵∠BCD＜∠BCO＜90°， ∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况， ①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； ②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+； 综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+． 考点：二次函数综合题． 课时作业☆能力提升 一．选择题 1．（2017浙江宁波第10题）抛物线(是常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 试题解析： =（x-1）2+m2+1 ∴顶点坐标为（1，m2+1） ∵m2≥0 ∴m2+1≥1 ∴抛物线(是常数)的顶点在第一象限. 故选A. 考点：二次函数的图象. 2. （2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【解析】 试题解析：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值， ∵F（0，2）、M（ ，3）， ∴ME=3，FM==2， ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5． 故选C． 考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系． 3．（天津市宁河区2017届九年级下学期第一次联考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是( ) A. ﹣1＜x＜5 B. x＞5 C. x＜﹣1或x＞5 D. x＜﹣1且x＞5 【答案】C 考点:二次函数的性质. 4. （2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【解析】 试题解析：∵图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0， ①正确； ∵﹣=﹣1， ∴b=2a， ∵a+b+c＜0， ∴b+b+c＜0，3b+2c＜0， ∴②是正确； ∵当x=﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b， ③错误； ∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值， ∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）． ∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误 ∴正确的有①②两个， 故选B． 考点：二次函数图象与系数的关系． 5. （2017江苏徐州第8题）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（ ） A．且 B． C. D． 【答案】A．[来源:学§科§网] 【解析】 试题解析：∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点， ∴， 解得b＜1且b≠0． 故选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 6.（2017年河南省商丘市中考数学模拟）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3 【答案】B 考点：二次函数的性质． 7.（2017年河北省沧州市中考数学模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次函数的图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数与反比例函数得出图象经过的象限． 解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴经过x的负半轴， ∴a，b同号， 图象经过y轴的正半轴，则c＞0， ∵函数y=，a＜0， ∴图象经过二、四象限， ∵y=bx+c，b＜0，c＞0， ∴图象经过一、二、四象限， 故选：B． 考点：函数图像与系数的关系. 8. （2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C． 【解析】 试题解析：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1， ∴当x=3时，y有最小值1，故①错误； 当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10， 当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10， ∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0， ∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误； ∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0， ∴当x＞3时，y随x的增大而增大， 当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10， 当x=n时，y=n2-6n+10， （n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4， ∵n是整数， ∴2n-4是整数，故③正确； ∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0， ∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小， ∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误； 故选C． 考点：二次函数的性质. 二．填空题 9. （2017上海第13题）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是　　． 【答案】y=2x2﹣1 考点：待定系数法求函数解析式 10.（山东省临沂市郯城县红花镇初级中学等五校2017-2018学年九年级10月联考）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为__________． 【答案】y=-0.5x+2x-2.5 【解析】∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(5，0)， 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(−1，0)， 设抛物线的解析式为y=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)， 即：y=a(x+1)(x−5)， 把(1，4)代入得：4=−8a， ∴a=−. ∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+. 故答案为：y=−x2+2x+. 11. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是 ． 【答案】②④⑤． 【解析】 试题解析：由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0， 顶点在y轴右侧，则b＜0， 抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1， ∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0）， ∴当x=3时，y=9a+3b+c=0， ∵a＞0， ∴10a+3b+c＞0，故②正确； ∵对称轴为x=1，且开口向上， ∴离对称轴水平距离越大，函数值越大， ∴y1＜y2，故③错误； 当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=，[来源:学科网ZXXK] ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0， ∴当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=0， 即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确； x=m对应的函数值为y=am2+bm+c， x=1对应的函数值为y=a+b+c， 又∵x=1时函数取得最小值， ∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b， ∵b=﹣2a， ∴am2+bm+a≥0，故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 考点：二次函数图象与系数的关系． 12. （2017湖北武汉第16题）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2<m<3，则a的取值范围是 ．学%科网 【答案】-3<a<-2，<a<. 考点：二次函数的图象. 三．解答题 13.（山东省德州市六校2018届九年级上学期第一次联考）已知抛物线经过三点A(2,6)、B(-1,0)、C(3,0)． 求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1）y=-2x²+4x+6；（2）对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8） 【解析】试题分析：（1）题目已知抛物线与x轴的交点坐标，故将函数解析式设为交点式，再将另一个点的坐标代入函数解析式求出解析式中的未知参数即可；（2）将函数解析式化为顶点式，写出对称轴和顶点坐标. 试题解析： 解：（1）设y=a（x+1）（x－3）， 将A(2，6)代入解析式，得6=a（2+1）（2－3），解得a=－2， 所以抛物线解析式为y=－2（x+1）（x－3）=－2x²+4x+6. （2）函数解析式化为顶点式y=－2(x－1)²+8， 所以，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）. 考点：用待定系数法求函数解析式. 14. （2017浙江衢州第22题）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。 （1）直接写出抛物线的勾股点的坐标； （2）如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标 【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）． 【解析】 试题分析：（1）根据抛物线勾股点的定义即可求解； （2）作PG⊥x轴，由P点坐标求得AG=1、PG=、 PA=2，由tan∠PAB=知∠PAG=60°,从而求得AB=4，即B（4，0），运用待定系数法即可求解； （3）由SΔABQ=SΔABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此可求解. 试题解析： （1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）； （2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0）， 如图，作PG⊥x轴于点G， ∵点P的坐标为（1，）， ∴AG=1、PG=，PA==2， ∵tan∠PAB=， ∴∠PAG=60°， 在Rt△PAB中，AB=， ∴点B坐标为（4，0）， 设y=ax（x﹣4）， 将点P（1，）代入得：a=﹣， ∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x； （3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为， 则有﹣x2+x =， 解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，）； 15. （2017浙江宁波第25题）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点. (1)求的值及直线的函数表达式；[来源:学|科|网] (2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点. ①求证：； ②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示). 【答案】(1)c=-3; 直线AC的表达式为：y=x+3；（2）①证明见解析；② 【解析】 试题分析：（1）把点C(6,)代入中可求出c的值；令y=0，可得A点坐标，从而可确定AC的解析式； （2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=，得∠OAB=tan∠OAD，再由M就PQ的中点，得OM=MP，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明； ②过M点作ME⊥x轴，垂足为E，分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用即可求解. 试题分析：（1）把点C(6,)代入 解得：c=-3 ∴ 当y=0时， 解得：x1=-4，x2=3 ∴A（-4，0） 设直线AC的表达式为：y=kx+b(k≠0) 把A（-4，0），C(6,)代入得 解得：k=，b=3 ∴直线AC的表达式为：y=x+3 (2)①在RtΔAOB中，tan∠OAB= 在RtΔAOD中，tan∠OAD= ∴∠OAB=∠OAD ∵在RtΔPOQ中，M为PQ的中点 ∴OM=MP ∴∠MOP=∠MPO ∵∠MPO=∠AON ∴∠APM=∠AON ∴ΔAPM∽ΔAON ②如图,过点M作ME⊥x轴于点E 又∵OM=MP ∴OE=EP ∵点M横坐标为m ∴AE=m+4 AP=2m+4 ∵tan∠OAD= ∴cos∠EAM=cos∠OAD= ∴AM=AE= ∵ΔAPM∽ΔAON ∴ ∴AN= 考点：二次函数综合题. 31 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！