21.4 《一元二次方程》　　小结与复习.doc

《一元二次方程》小结与复习 学 习 目 标 1、一元二次方程的相关概念； 2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况； 4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题； 5、构造一元二次方程解决简单的实际问题； 学习重点 运用知识、技能解决问题。 学习难点 解题分析能力的提高． 教 学 互 动 设 计 一、知识梳理 1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。 3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法 4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。 5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理） 当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=，x1•x2=。 若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1＋x2== -p ， x1•x2= q 。 6、一元二次方程的应用。 二、基本知识训练 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】 A． B． C． D． 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。 3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】 A． 1 B．﹣1 C．0 D．无法确定 4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。 5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【 A 】 A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16 6、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 B 】 A． B． C． D． 7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】 A． x2+2x-4=0 B． x2-4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0 8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则-。 三、典型例题分析 【例1】用适当的方法解下列方程： ⑴x2﹣4x+2=0 ⑵ ⑶ 解：⑴x=；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=。 【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式的值． 解：∵== = 又∵x2+2x-8＝0， ∴x1＝-4，x2＝2， 但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式== 【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值. 解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴⊿=9-4( m-1)≥0， 解之得：. （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1， ∴2 ×(-3)+ ( m-1)+10=0 解之得：m=-3. 【例4】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值； （3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． 解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2． ∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝． ∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0． （2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根， ∴a＋b＝15，ab＝－5． ∴＋＝＝＝＝－47． ②当a＝b时，＋＝1＋1＝2． ∴＋＝－47或2． （3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝． ∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0． ∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4． 【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。 （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元。 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。 解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程： 解这个方程，得， 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意， 符合题目要求的是% 答：平均每次下调的百分率是20%。 （2）小华选择方案一购买更优惠。 理由：方案一所需费用为：（元） 方案二所需费用为：（元） ∵ 14400 <15000， ∴小华选择方案一购买更优惠。 四、经典考题训练 1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。 ①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤ 2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。 3、已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为 -2，则实数k的值为【 C 】 A．1 B． C．2 D． 4、关于x的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为【 B 】 A、1 B、 C、1或 D、0.5 5、方程的解是． 6、已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如x2=1等． 7、如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0． 8、已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= -6 ． 9、若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　． 10、用适当的方法解下列方程： ⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x2-3x-1=0 解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷ 11、先化简，再求值： ，其中是方程的根． 解：原式= === ∵是方程的根，∴ ∴原式== 12、已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根 ∴(k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0 ∴k >且k≠2 13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求的值. 解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8， ∴====-． 14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根． （1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4． ∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0, ∴原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵；∴， ∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0, 解得：m1=-3，m2=1． 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：． 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得： 15、阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 当y=1时，x2=1，∴x=±1； 当y=4时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到__降次__的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0． 解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0， 解得y1=6，y2=－2． 由x2+x=6，得x1=－3，x2=2． 由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0， b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解． 所以原方程的解为x1=－3，x2=2． 16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． 解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m． 根据题意可得，x（50﹣2x）=300， 解之得：x1=10，x2=15， 当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25， 故x1=10（不合题意舍去）， 答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形． 17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得： x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800， 解得：x1=220，x2=80． 当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100， ∴x1=220（不合题意，舍去）； 当x2=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100， ∴x=80， 答：该校共购买了80棵树苗．