第5节　二次函数的综合应用.doc

第5节　二次函数的综合应用 课时1　与线段、周长有关的问题 (建议答题时间：40分钟) 1. (2017滨州)如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C. (1)求直线y＝kx＋b的函数解析式； (2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值． 第1题图 2. (2017宁波)如图，抛物线y＝x2＋x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D. (1)求c的值及直线AC的函数表达式； (2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON； ②设点M的横坐标为m，求AN的长．(用含m的代数式表示) 第2题图 3. (2017东营)如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值． 第3题图 4. (2017武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE； (3)如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值． 第4题图 课时2　与面积有关的问题 (建议答题时间：40分钟) 1. (2017深圳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)； (2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由； (3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°得到BE，与抛物线交于另一点E，求BE的长． 第1题图 2. (2017盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点． ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 3. (2017海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线y＝x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N. ①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． ②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②， 是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第3题图 4. (2017重庆南开一模) 已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC. (1)求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式； (2)如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值； (3)如图②，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH(正方形顶点按顺时针顺序)，当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积． 第4题图 课时3　与三角形、四边形形状有关的问题 (建议答题时间：40分钟) 1. (2017菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4，0)，与过A点的直线相交于另一点D(3，)，过点D作DC⊥x轴，垂足为C. (1)求抛物线的表达式； (2)点P在线段OC上(不与点O、C重合)，过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值； (3)若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1题图 2. (2017广安)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1. (1)求此抛物线的解析式及点B的坐标； (2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形； ②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t值；若不能，请说明理由． 第2题图 3. (2017潍坊)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(－1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式； (2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根； (3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 4. (2017重庆九龙坡区模拟)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM＋MC的最小值； (3)如图②，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF＝，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图 课时4　二次函数的实际应用 (建议答题时间：20分钟) 1. (2017临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是(　　) A. 1 　B. 2 C. 3 D. 4 2. (2017金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m. (1)当a＝－时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 第2题图 3. (2017扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50 日销售量p(千克) 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．(日获利＝日销售利润－日支出费用) 答案 课时1　与线段、周长有关的问题 1. 解：(1)∵直线y＝kx＋b经过点A(－4，0)，B(0，3)， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为y＝x＋3； (2)如解图，过点P作PM⊥AB于点M，作PN∥y轴交直线AB于点N. 第1题解图 ∴∠PNM＝∠ABO， ∵∠AOB＝∠NMP＝90°， ∴△AOB∽△PMN， ∴＝， ∵OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∴PM＝PN， ∵点P是抛物线上的点，PN∥y轴， ∴P(x，－x2＋2x＋1)，N(x，x＋3)， ∴PN＝x＋3－(－x2＋2x＋1)＝x2－x＋2＝(x－)2＋， PM＝d＝(x－)2＋， ∴当x＝时，PM取得最小值，此时P点坐标为(，)； (3)∵抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C， ∴C(0，1)，对称轴为直线x＝－＝1， 如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为(2，1)，点G到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值，最小值为d＝×(2－)2＋＝. 2. (1)解：把点C(6，)代入抛物线解析式可得＝9＋＋c， 解得c＝－3， ∴y＝x2＋x－3， 当y＝0时，x2＋x－3＝0， 解得x1＝－4，x2＝3， ∴A(－4，0)， 设直线AC的函数表达式为：y＝kx＋b(k≠0)， 把A(－4，0)，C(6，)代入y＝kx＋b中得，解得， ∴直线AC的函数表达式为：y＝x＋3； (2)①证明：由(1)易得OA＝4，OB＝3，OD＝3，∵在Rt△AOB中， tan∠OAB＝＝. 在Rt△AOD中，tan∠OAD＝＝. ∴∠OAB＝∠OAD， ∵在Rt△POQ中，M为PQ中点， ∴OM＝MP， ∴∠MOP＝∠MPO， ∵∠MOP＝∠AON， ∴∠APM＝∠AON， ∴△APM∽△AON； ②解：如解图，过点M作ME⊥x轴于点E. 又∵OM＝MP， ∴OE＝EP， ∵点M横坐标为m， ∴AE＝m＋4，AP＝2m＋4， ∵tan∠OAD＝， ∴cos∠EAM＝cos∠OAD＝， ∴AM＝AE＝， ∵△APM∽△AON， ∴＝， ∴AN＝＝. 　 第2题解图 3. 解：(1)∵直线y＝－x＋与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴令x＝0得y＝，令y＝0得x＝3， ∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)． ∴tan∠CBO＝＝， ∴∠CBO＝30°， ∴∠BCO＝60°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACO＝30°， ∴AO＝CO·tan∠ACO＝×＝1， ∴点A的坐标为(－1，0)； (2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋； (3)∵MD∥y轴， ∴∠MDH＝∠BCO＝60°， ∵MH⊥BC， ∴HD＝MD，MH＝MD. ∴△DMN的周长为(1＋＋)MD. 设点D的坐标为(t，－t＋)，则点M的坐标为(t，－t2＋t＋)， ∵点M在直线BC上方的抛物线上， ∴MD＝(－t2＋t＋)－ (－t＋)＝－t2＋t＝－(t－)2＋. ∵0＜t＜3， ∴当t＝时，MD有最大值，且MD的最大值为， ∴△DMH周长的最大值为(1＋＋)×＝. 4. (1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y＝ax2＋bx中，， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－x； (2)证明：∵A(－1，1)，F(0，m) ∴直线AF的解析式为：y＝(m－1)x＋m. 联立， 得x2－(m－)x－m＝0. ∵A、G为直线AF与抛物线的交点， ∴xA＋xG＝－＝2m－1，∴xG＝2m－1－(－1)＝2m， ∴H(2m，0)， ∴直线HF的解析式为：y＝－x＋m. 由抛物线解析式易得E(1，0)， 又A(－1，1)， ∴直线AE的解析式为：y＝－x＋， ∵直线HF与直线AE的斜率相等， ∴HF∥AE； (3)解：t的值为或或或. 【解法提示】由题意知直线AB解析式为y＝x＋2，∴C(－2，0)，D(0，2)，P(t－2，t)，Q(t，0)． ∴直线PQ的解析式为y＝－x＋， 设M(x0，y0)， 由QM＝2PM可得：|t－x0|＝2|x0－t＋2|， 解得：x0＝t－或x0＝t－4. (i)当x0＝t－时，代入直线PQ解析式得y0＝t. ∴M(t－，t)， 代入y＝x2－x中得：(t－)2－(t－)＝t， 解得t1＝，t2＝； (ii)当x0＝t－4时，y0＝2t. ∴M(t－4，2t)， 代入y＝x2－x中得：(t－4)2－(t－4)＝2t， 解得：t3＝，t4＝. 综上所述，t的值为或或或. 课时2　与面积有关的问题 1. 解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2中，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2； (2)存在，点D的坐标为D1(1，3)，D2(2，3)，D3(5，－3)． 【解法提示】如解图①，过点D作DM⊥AB于点M. 设D(m，－m2＋m＋2)(m>0)，则DM＝|－m2＋m＋2|. ∵A(－1，0)，B(4，0)， ∴AB＝5. ∵抛物线交y轴于点C， ∴y＝－x2＋x＋2中，令x＝0，有y＝2， ∴C(0，2)，∴OC＝2. ∵OC⊥AB， ∴S△ABC＝AB·OC＝5， 　第1题解图① 又∵S△ABD＝S△ABC， ∴DM＝|－m2＋m＋2|＝OC＝3， 当－m2＋m＋2＝3时，解得m1＝1，m2＝2，此时D1(1，3)，D2(2，3)； 当－m2＋m＋2＝－3时，解得m3＝－2(舍去)，m4＝5，此时D3(5，－3)． 综上所述，点D的坐标为D1(1，3)，D2(2，3)，D3(5，－3)． (3)如解图②，过点C作CF⊥BC交BE于点F，过点F作FH⊥y轴于点H，过点E作EG⊥x轴于点G. 　第1题解图② ∵CF⊥BC，∠CBF＝45°， ∴△BCF是等腰直角三角形，且BC＝CF， ∴∠OCB＋∠FCH＝90°， 又∵FH⊥y轴， ∴∠CFH＋∠FCH＝90°， ∴∠OCB＝∠CFH， 而BC＝CF， ∴△BOC≌△CHF(AAS)， 又∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CH＝OB＝4，FH＝OC＝2， ∴OH＝6， ∴F(2，6)． 设BE的解析式为y＝kx＋c， 将B(4，0)，F(2，6)代入y＝kx＋c，得 ，解得， ∴BE的解析式为y＝－3x＋12. 联立抛物线和直线BE的解析式，得， 解得(舍去)，， ∴E(5，－3)， ∵EG⊥x轴， ∴BG＝1，EG＝3， ∴在Rt△BEG中，BE＝＝. 2. 解：(1)据题意得，A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、C两点， ∴，∴， ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋2； (2)①令y＝0，∴－x2－x＋2＝0， ∴x1＝－4，x2＝1， ∴B(1，0)， 如解图①，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， 第2题解图① ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴＝＝， 设D(a，－a2－a＋2)， 则M(a，a＋2)， ∴DM＝－a2－a＋2－(a＋2)＝－a2－2a，在y＝x＋2中， 令x＝1，则y＝， ∴BN＝， ∵B(1，0)， ∴N(1，)， ∴＝＝＝－(a＋2)2＋， ∴当a＝－2时，取最大值为； ②如解图②， 第2题解图② ∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC＝2，BC＝，AB＝5， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB中点P，并连接CP， ∴P(－，0)， ∴PA＝PC＝PB＝， ∴∠CPO＝2∠BAC， ∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝； 情况1： 过D作x轴的平行线，交y轴于R，交AF延长线于G，则∠DGC＝∠BAC， 若∠DCF＝2∠BAC，即∠DGC＋∠CDG＝2∠BAC，∴∠CDG＝∠BAC， ∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝. 即＝，设D(d，－d2－d＋2)， ∴DR＝d，RC＝－d2－d， ∴＝， ∴d1＝0(舍)，d1＝－2， ∴xD＝－2； 情况2：如解图③，过A作AQ∥DF，交CD延长线于点Q，过Q作QH⊥x轴于点H，若∠FDC＝2∠BAC， 即∠AQC＝2∠BAC， ∴tan∠AQC＝＝＝， ∴AQ＝，△QHA∽△AOC， ∴＝＝＝， 第2题解图③ ∴AH＝，HQ＝3， ∴Q(－，3)，又C(0，2)， ∴易求直线QC的解析式为y＝－x＋2， 联立得， ∴x2＋x＝0， x1＝0(舍去)，x2＝－， ∴xD＝－， 综上所述，D点的横坐标为－2或－. 3. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． ∴ ，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为y＝x2－x＋3； (2)∵点P是抛物线上的动点，且位于x轴下方， ∴可设点P(t，t2－t＋3)(1＜t＜5)， ∵PM∥y轴，分别与x轴和直线CD相交于点M、N， ∴M(t，0)，N(t，t＋3)． ①∵点C，D是直线与抛物线的交点，∴令x2－x＋3＝x＋3，解得x1＝0，x2＝7. 当x＝0时，y＝x＋3＝3， 当x＝7时，y＝x＋3＝. ∴点C(0，3)，D(7，)． 如解图，分别过点C和点D作直线PN的垂线，垂足分别为E，F， 第3题解图 则CE＝t，DF＝7－t，SΔPCD＝SΔPCN＋SΔPDN＝PN·CE＋PN·DF＝PN(CE＋DF)＝PN， 当PN最大时，△PCD的面积最大． ∵PN＝t＋3－(t2－t＋3)＝－(t－)2＋， ∴当t＝时，PN取最大值为，此时△PCD的面积最大，最大值为×7×＝； ②存在. ∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴当＝或＝时，△CNQ与△PBM相似． ∵CQ⊥PM，垂足为点Q， ∴Q(t，3)． 且C(0，3)，N(t，t＋3)， ∴CQ＝t，NQ＝(t＋3)－3＝t. ∴＝. ∵P(t，t2－t＋3)，M(t，0)，B(5，0)． ∴BM＝5－t，PM＝－t2＋t－3. 情况1：当＝时，PM＝BM，即－t2＋t－3＝(5－t)，解得 t1＝2，t2＝5(舍去)，此时，P(2，－)； 情况2：当＝时，BM＝PM，即5－t＝(－t2＋t－3)，解得t1＝，t2＝5(舍去)．此时，P(，－)． 综上所述，存在点P(2，－)或者P(，－)，使得△CNQ与△PBM相似． 4. 解：(1)令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，解得x＝4或－3， ∴点A坐标(－3，0)，点B坐标(4，0)， 设直线BC解析式为y＝kx＋b，把B(4，0)，C(0，4)代入得 ， 解得 ， ∴直线BC解析式为y＝－x＋4； (2)如题图①，∵PN∥OC，NK⊥BC，∴∠MPB＝∠MKN＝90°， ∵∠PMB＝∠NMK， ∴△MNK∽△MBP， ∵△MNK与△MBP的面积比为1：2，∴BM＝MN， ∵OB＝OC， ∴∠PBM＝45°， ∴BM＝PB， ∴MN＝PB， 设P(a，0)，则MN＝－a2＋a＋4＋a－4＝－a2＋a，BP＝4－a， ∴－a2＋a＝4－a， 解得a＝3或4(舍去)， ∴PB＝1，t＝； (3)①如解图①中，过F作FR⊥x轴于R，交GH于T，当轴对称图形为筝形时，PF＝PG，GM＝FM， ∵BP＝PG＝AQ，PQ＝PF， ∴AQ＝PQ＝5t， 过点Q作QN⊥AP，则AN＝NP， 由△AQN∽△ACO， ∴＝， ∵A(－3，0)，C(0，4)， ∴AC＝5， ∴＝， ∴AN＝3t， ∴AP＝2AN＝6t， ∵AP＋BP＝AB， ∴6t＋5t＝7， ∴t＝， ∴PB＝PF＝， 易证△ACO∽△FPR∽△FMT， ∴＝， ∴FR＝，TF＝－＝， ∴＝， ∴FM＝， ∴S＝2×PF·FM＝； ②如解图②中，当轴对称图形是正方形时，3t＋5t＝7，∴t＝，∴S＝. 第4题解图① 第4题解图② 课时3　 与三角形、四边形形状有关的问题 1. 解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋1经过B(4，0)，D(3，)， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1； (2)∵抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于点A， ∴点A的坐标为A(0，1)， 设直线AD的表达式为y＝kx＋d，则，解得， ∴直线AD的表达式为y＝x＋1. ∵CD⊥x轴，点D的坐标为D(3，)， ∴点C的坐标为C(3，0)， 设P(m，0)，则0<m<3. ∵PN⊥x轴， ∴M(m，m＋1)， ∴PM＝m＋1，CP＝3－m， ∴S△PCM＝PM·CP＝×(m＋1)×(3－m)＝－(m－)2＋， ∴当m＝时，△PCM面积取得最大值为； (3)∵OP＝t， ∴P(t，0)，M(t，t＋1)，N(t，－t2＋t＋1)， ∴MN＝|－t2＋t＋1－(t＋1)|＝|－t2＋t|， ∵CD∥MN， ∴要使得四边形MNDC是平行四边形，只需MN＝CD即可． ∵CD＝， ∴只需|－t2＋t|＝， 化简得3t2－9t＋10＝0或3t2－9t－10＝0. 当3t2－9t＋10＝0时，Δ＝81－120<0，方程无解； 当3t2－9t－10＝0时，Δ＝81＋120＝201>0， ∴t＝， ∵t>0， ∴t＝， ∴当t为时，四边形MNDC是平行四边形． 2. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)， ∴c＝3， ∵对称轴是直线x＝1， ∴－＝1，解得b＝2， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B的坐标为(3，0)； (2)①由题意得ON＝3t，OM＝2t，则点P(2t，－4t2＋4t＋3)， ∵四边形OMPN为矩形， ∴PM＝ON，即－4t2＋4t＋3＝3t， 解得t1＝1，t2＝－(不合题意，舍去)， ∴当t＝1时，四边形OMPN为矩形； ②能，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，∴∠B＝45°， 若△BOQ为等腰三角形，有三种情况： (ⅰ)若OQ＝BQ，如解图①所示： 则M为OB中点，OM＝OB＝， ∴t＝÷2＝； (ⅱ)若OQ＝OB， ∵OA＝3，OB＝3， ∴点Q与点A重合，即t＝0(不合题意，舍去)； (ⅲ)若OB＝BQ，如解图②所示： ∴BQ＝3， ∴BM＝BQ·cos45°＝3×＝， ∴OM＝OB－BM＝3－＝， ∴t＝÷2＝， 综上所述，当t为秒或秒时，△BOQ为等腰三角形． 第2题解图 3. 解：(1)将点A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； (2)把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3得：－x2＋2x＋3＝0， 解得x＝3或x＝－1. ∴点E的坐标为(3，0)． ∵l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分， ∴直线l经过平行四边形两对角线的交点， ∴直线l经过点BD的中点，即(，)． 设EF的解析式为y＝kx＋b′，将(，)和(3，0)代入直线的解析式得，解得， ∴直线EF的解析式为y＝－x＋， 将直线EF解析式与抛物线解析式联立可得， ，解得或， ∴F(－，)， 如解图①所示，连接PE，过点P作PG⊥x轴，交EF于点G. 第3题解图① 设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，则点G的坐标为(t，－t＋)， ∴PG＝－t2＋2t＋3－(－t＋) ＝－t2＋t＋. △PEF的面积＝PG·|xE－xF|＝×(3＋)PG＝×(－t2＋t＋)＝－t2＋t＋＝－·(t－)2＋×， ∴当t＝－＝时，△PFE的面积最大，最大面积为×， ∴最大值的立方根为＝1.7； (3)如解图②所示：当∠PAE＝90°时， 第3题解图② 设直线AE的解析式为y＝k′x＋3，将点E的坐标代入得：3k′＋3＝0，解得k′＝－1. ∴直线AE的解析式为y＝－x＋3. ∴直线AP的解析式为y＝x＋3. 将y＝x＋3与y＝－x2＋2x＋3联立，解得x＝0时，y＝3；x＝1时，y＝4. ∴P(1，4)． ∴t＝1. 如解图③所示：当∠APE＝90°时， 第3题解图③ 设点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)． 设直线AP的解析式为y＝k1x＋b1，PE的解析式为y＝k2x＋b2. 将点A和点P的坐标代入y＝k1x＋b1得， 解得k1＝－t＋2. 将点P、E代入y＝k2x＋b2得， 解得k2＝－(t＋1)． ∵PA与PE垂直， ∴k1·k2＝－1，即－(t＋1)×(－t＋2)＝－1，整理得：t2－t－1＝0， 解得t＝或t＝， ∵点P在直线l的上方， ∴t＝(舍去)． 综上所述，当t＝1或t＝时，△PAE为直角三角形． 4. 解：(1)△ABC是直角三角形. 理由如下：对于抛物线y＝x2－x－， 令y＝0, 得x2－x－＝0， 解得x＝－或3. 令x＝0，y＝－. ∴A(－，0)，C(0，－)，B(3，0)， ∴OA＝，OC＝，OB＝3， ∴＝＝， ∵∠AOC＝∠BOC， ∴△AOC∽△COB， ∴∠ACO＝∠OBC， ∵∠OBC＋∠OCB＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠ACB＝90°. 即△ABC为直角三角形； (也可以求出AC、BC、AB，利用勾股定理逆定理证明) (2)如解图①中，设第四象限抛物线上一点N(m，m2－m－)，点N关于x轴的对称点P(m，－m2＋m＋)，过B、C分别作y轴、x轴的平行线交于点G，连接PG. 第4题解图① ∵G(3，－)， ∴SΔPBC＝SΔPCG＋SΔPBG－SΔBCG＝×3×(－m2＋m＋2) ＋××(3－m)－×3×＝－(m－)2＋. ∵<0， ∴当m＝时，△PBC的面积最大，此时P(，)． 如解图②，作ME⊥CG于点E， 第4题解图② ∵CG∥OB， ∴∠OBC＝∠ECM， ∵∠BOC＝∠CEM， ∴△CEM∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝1∶3∶， ∴EM∶CE∶CM＝1∶3∶， ∴EM＝CM， ∴PM＋CM＝PM＋ME， ∴根据垂线段最短可知，当PE⊥CG时，PM＋ME最短， ∴PM＋MC的最小值为＋＝； (3)存在，理由如下： ① 如解图③，当DH＝HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴．作CG⊥HK于G，PH∥x轴，EP⊥PH于点P. 第4题解图③ ∵FH∥CK，K(，－)， 易知CG∶GK∶CK＝3∶4∶5， 由△EPH∽△KGC，得PH∶PE∶EH＝3∶4∶5，设 E(n，n2－n－)， 则HE＝(n－)，PE＝(n－)． ∵DH＝HF， ∴＋[－n2＋n＋－(n－)]＝(n－)＋， 解得n＝或n＝(舍去)． ②如解图④，当DH＝HF，HQ平分∠DHF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在直线是对称轴． 同上面的方法可得[n2－n－＋(n－)]－＝(n－)＋， 解得n＝＋或n＝－(舍去)． 第4题解图④ ③如解图⑤，当DH＝DF，DQ平分∠HDF时，以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在直线是对称轴. 第4题解图⑤ 设DQ交HF于M，由△DHM∽△CKG，可知HM∶DH＝4∶5，则×[(n－)＋]∶[n2－n－＋(n－)－]＝4∶5， 解得n＝＋或n＝－(舍去)． 综上所述，满足条件的点E的横坐标为或＋或＋. 课时4　 二次函数的实际应用 1. B　【解析】由足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间关系可求得h与t的函数关系式为：h＝－t2＋9t，当t＝1.5时，可得h＝11.25，所以④错误；当h＝0时，可得－t2＋9t＝0，解得t1＝0，t2＝9，所以足球被踢出9秒时落地，由h＝－t2＋9t可得对称轴是t＝，故②③正确；当t＝时，h＝－＋＝＝20.25，所以①错误；正确结论的个数为2个，故选B. 2. 解：(1)①把P(0，1)代入y＝－(x－4)2＋h中得h＝； ②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－×(5－4)2＋＝1.625. ∵1.625＞1.55. ∴此球能过网； (2)把P(0，1)，Q(7，)代入y＝a(x－4)2＋h，得，解得， ∴a＝－. 3. 解：(1)p与x之间满足一次函数关系p＝kx＋b，点(50，0)，(30，600)在图象上， ∴， 解得， ∴p与x之间的函数表达式为p＝－30x＋1500(30≤x≤50)； (2)设日销售价格为x元/千克，日销售利润为w元，依题意得 w＝(－30x＋1500)(x－30)＝－30x2＋2400x－45000(30≤x≤50)， ∵a＝－30<0，∴w有最大值． 当x＝－＝40时， w最大＝3000(元)； 故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大． (3)∵w＝p(x－30－a)＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000)， 对称轴为x＝－＝40＋a. ①若a>10，当x＝45时w取最大值，即(45－30－a)×150＝2250－150a<2430(舍去)； ②若a<10，当x＝40＋a时w取最大值，将x＝40＋a代入，得w＝30(a2－10a＋100)， 令w＝2430，则30(a2－10a＋100)＝2430，解得a1＝2或a2＝38(舍去)． 综上所述，a的值为2.