专题38 与圆有关的概念-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点三十八：与圆有关的概念 聚焦考点☆温习理解 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 3.直径 经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD） 直径等于半径的2倍。学+科网 4.半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 5.弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 5、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。[来源:Zxxk.Com] 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 3、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、垂径定理 【例1】（2017四川泸州第6题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　） A. B.2 C．6 D．8 【答案】B． 【解析】[来源:学,科,网Z,X,X,K] 试题解析：由题意，得 OE=OB-AE=4-1=3， CE=CD= =， CD=2CE=2， 故选B． 考点：1.垂径定理；2.勾股定理． 【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可，做法可总结为：作垂直，连半径，用勾股。 【举一反三】 （2017内蒙古呼和浩特第7题）如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点：垂径定理． 考点典例二、求边心距 【例2】（2016贵州贵阳第8题）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　） A．cm　　　　　　B．cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．cm 【答案】B． 考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质． 【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 【举一反三】 如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于( ) A. B. C. 4 D. 3 【答案】D． 考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理. 【分析】如答图，过点A作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF， ∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 在△ADE和△ABF中，∵， ∴△ADE≌△ABF（SAS）.∴DE=BF=6. ∵AH⊥BC，∴CH=BH. 又∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线. ∴AH=BF=3． 故选D． 考点典例三、最短路线问题 【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　） 　 A． B．1 C． 2 D． 2[来源:学科网ZXXK] 【答案】A. 【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′， ∵∠AMN=30°， ∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，[来源:学科网] ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°， 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°， ∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=OA=×1=， 即PA+PB的最小值=． 故选A．学科&网 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键． 【举一反三】 （2016浙江台州第10题）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A． 6　　　　B． 　　　　C． 9　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC ∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C． 考点：切线的性质；最值问题． 课时作业☆能力提升 一．选择题 1．（2017新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】A. 【解析】 试题解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8， ∴AC=BC=AB=4． 设OA=r，则OC=r﹣2， 在Rt△AOC中， ∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5， ∴AE=10， ∴BE==6， ∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12． 故选A． 考点：圆周角定理；垂径定理． 2. （2017青海西宁第8题）如图，是的直径，弦交于点，，.则的长为 （ ） A． B． C. D．8 【答案】C 3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C． 【解析】 试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm. 当C点位置如答图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴cm. ∴CM=OC+OM=5+3=8cm. ∴在Rt△AMC中，cm. 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm. ∴在Rt△AMC中，cm． 综上所述，AC的长为或. 故选C． 考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用． 4. （2017河池第8题）如图，⊙的直径垂直于弦，则的大小是（） A． B． C. D． 【答案】B. 【解析】 试题分析：根据垂径定理推出，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解决问题． ∵AB是直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB=∠BAD=36°， ∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选B． 考点：圆周角定理；垂径定理. 5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，则PA+PB的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D．2 【答案】D. 6. （2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．4 【答案】A． 【解析】 试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，∠CEO=90°， ∵∠A=15°， ∴∠COE=30°， ∵OC=2， ∴CE=OC=1， ∴CD=2OE=2， 故选A． 考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理． 二．填空题 7. （2017贵州遵义第17题）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为　　． 【答案】 .[来源:学§科§网Z§X§X§K] 【解析】 试题分析：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示： 则CE=DE， ∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点， ∴OD=OA=2，OM=1， ∵∠OME=∠CMA=45°， ∴△OEM是等腰直角三角形， ∴OE=OM=， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=, ∴CD=2DE=； 故答案为：．学&科网 考点：垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形． 8. （2017湖北孝感第15题）已知半径为的中，弦，弦，则的度数为 ． 【答案】150°或30° 【解析】 试题分析：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示． ∵OA=OC=AC，∴∠OAC=60°．∵AD=2，OE⊥AD，∴AE=，OE==， ∴∠OAD=45°，∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°， ∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°． 故答案为：150°或30°． 考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理. 9. （2017辽宁大连第12题）如图，在⊙中，弦，，垂足为，，则⊙的半径为 ． 【答案】5. 考点：垂径定理；勾股定理. 10. （2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ． 【答案】（32+48π）cm2 【解析】 试题解析：连接OA、OB， ∵=90°， ∴∠AOB=90°， ∴S△AOB=×8×8=32， 扇形ACB（阴影部分）==48π， 则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2 考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算． 11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　 　． 【答案】1或3 【解析】 试题分析：如图所示： ∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为：1或3． 考点：1、垂径定理；2、勾股定理． 12. （2017贵州六盘水第25题）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点. (1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求的最小值. 【答案】（1）详见解析；(2)2. 试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值． 试题解析： (1)如图，点P即为所求作的点. (2)由（1）可知，的最小值为的长， 连接,OB、OA ∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°， ∴ 在Rt△中， 即的最小值为2. 考点：圆，最短路线问题． 16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！