专题23 圆的有关位置关系-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第四篇 图形的性质 专题23 与圆有关的位置关系 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 点和圆的位置关系 理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r及其运用． 直线和圆的位置关系 切线的判定定理[来源:Z#xx#k.Com][来源:学。科。网Z。X。X。K] 理解切线的判定定理，会运用它解决一些具体的题目[来源:学_科_网][来源:学科网] 切线的性质定理 理解切线的性质定理，会运用它解决一些具体的题目 切线长定理 运用切线长定理解决一些实际问题． 圆和圆的位置关系 理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1．（2017四川省自贡市）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（　　） A．20°　　　　　　B．25°　　　　　　C．30°　　　　　　D．40° 【答案】B． 【解析】 考点：切线的性质． 2．（2017临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　） A．2　　　　B．　　　　C．1　　　　D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：设AT交⊙O于D，连结BD．∵BT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，∴AD=BD=TD=AB=，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影部分的面积=S△BTD=××=1．故选C．学科~网 考点：1．切线的性质；2．扇形面积的计算． 3．（2017广东省广州市）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A．三条边的垂直平分线的交点　　　　　　B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点　　　　　　 　　　　D．三条高的交点 【答案】B． 【解析】 考点：三角形的内切圆与内心． 4．（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　） A．240°　　　　　　B．360°　　　　　　C．480°　　　　　　D．540° 【答案】C． 【解析】 试题分析：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．故选C． 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．旋转的性质． 5．（2017江苏省无锡市）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（　　） A．5　　　　　　B．6　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 ∵AD=AB，OA平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴，∴，∴OF=．故选C． 考点：1．切线的性质；2．菱形的性质；3．综合题． 6．（2017湖北省随州市）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论： ①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　） A．1个　　　　　　B．2个　　　　　　C．3个　　　　　　D．4个 【答案】B． 【解析】 ∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确； ∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误． 综上所述，正确的结论有2个，故选B． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的性质；4．三角形的外接圆与外心；5．旋转的性质；6．综合题． 7．（2017贵州省黔南州）如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA=36°，则∠ACB的度数为（　　） A．54°　　　　　　B．36°　　　　　　C．30°　　　　　　D．27° 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°，∵∠ODA=36°，∴∠AOD=54°，∵∠AOD与∠ACB都对，∴∠ACB=∠AOD=27°．故选D． 考点：切线的性质． 8．（2017山东省济南市）把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（　　） A．12cm　　　　　　B．24cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．cm 【答案】D． 【解析】 考点：切线的性质． 9．（2017山东省莱芜市）如图，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=21°，则∠ADC的度数为（　　） A．46°　　　　　　B．47°　　　　　　C．48°　　　　　　D．49° 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵OB=OC，∴∠B=∠BCO=21°，∴∠AOD=∠B+∠BCO=21°+21°=42°，∵AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切与点A，∴∠OAD=90°，∴∠ADC=90°﹣∠AOD=90°﹣42°=48°．故选C． 考点：切线的性质． 10．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 考点：1．相交两圆的性质；2．扇形面积的计算． 二、填空题 11．（2017上海市）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以点A、B为圆心画圆．如果点C在⊙A内，点B在⊙A外，且⊙B与⊙A内切，那么⊙B的半径长r的取值范围是 ． 【答案】8＜r＜10． 【解析】 试题分析：如图1，当C在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，⊙A的半径为：AC=AD=4，⊙B的半径为：r=AB+AD=5+3=8； 如图2，当B在⊙A上，⊙B与⊙A内切时，⊙A的半径为：AB=AD=5，⊙B的半径为：r=2AB=10； ∴⊙B的半径长r的取值范围是：8＜r＜10．故答案为：8＜r＜10． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．分类讨论． 12．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 PD=AD•tan30°=AD=，BD=AD=，∴PB=BD﹣PD=﹣=．故答案为：． 考点：1．点与圆的位置关系；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．圆周角定理；5．动点型． 13．（2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2π+4． 【解析】 考点：1．切线的性质；2．正方形的性质；3．扇形面积的计算． 14．（2017宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5． 【解析】 考点：确定圆的条件． 15．（2017山东省威海市）阅读理解：如图1，⊙O与直线a、b都相切，不论⊙O如何转动，直线a、b之间的距离始终保持不变（等于⊙O的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的． 拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2cm，则莱洛三角形的周长为 cm． 【答案】2π． 【解析】 考点：1．切线的性质；2．平行线之间的距离；3．新定义． 16．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ． 【答案】x=0或x= 或 ． 【解析】 试题分析：以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ， 且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ， 当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2； 只有3个点P； ②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ． ③因为MN=4，所以当x＞0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3； 当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜． 与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=或4≤x＜． 考点：1．等腰三角形的判定；2．相交两圆的性质；3．分类讨论；4．综合题． 17．（2017四川省德阳市）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为_____． 【答案】4． 【解析】 考点：1．最值问题；2．三角形三边关系；3．相切两圆的性质． 18．（2017浙江省湖州市）如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 ． 【答案】29． 【解析】 考点：1．切线的性质；2．规律型． 19．（2017衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ． 【答案】 ． 【解析】 考点：1．切线的性质；2．一次函数的性质；3．最值问题． 20．（2017湖南省岳阳市）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB； ③若PB=BD，则PD=；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值． 【答案】②③④． 【解析】 试题分析：如图，连接OP，∵AO=OP，∠PAB=30°，∴∠POB=60°，∵AB=12，∴OB=6，∴弧的长为 =2π，故①错误； ∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴ =，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB，故②正确； 若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴PD=OP=，故③正确； ∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确； 故答案为：②③④． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．切线的性质；4．弧长的计算；5．动点型；6．定值问题；7．综合题． 21．（2017甘肃省兰州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．动点P在直线上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与▱ABCO的边相切时，P点的坐标为 ． 【答案】P（0，0）或（，1）或（，）． 【解析】 P的纵坐标为1，可得P（，1）． ③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相等，可得 =，解得x=或，∵x=＞OA，∴P不会与OA相切，∴x=不合题意，∴P（，）． ④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG， ∵OP⊥AB，∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，∴此种情形，不存在P． 综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（，）． 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．动点型；4．分类讨论；5．综合题． 三、解答题 22．（2017内蒙古包头市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB． （1）求证：AE•EB=CE•ED； （2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，，求tan∠OBC的值及DP的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠OBC=，． 【解析】 （2）解：∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OC=3，∵OE=2BE，∴OE=2，BE=1，AE=5，∵，∴设CE=9x，DE=5x，∵AE•EB=CE•ED，∴5×1=9x•5x，解得：x1=，x2=﹣（不合题意舍去），∴CE=9x=3，DE=5x=，过点C作CF⊥AB于F，∵OC=CE=3，∴OF=EF=OE=1，∴BF=2，在Rt△OCF中，∵∠CFO=90°，∴CF2+OF2=OC2，∴CF=，在Rt△CFB中，∵∠CFB=90°，∴tan∠OBC==，∵CF⊥AB于F，∴∠CFB=90°，∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，在△CFE和△PBE中，∵∠CFB=∠PBE，EF=EF，∠FEC=∠BEP，∴△CFE≌△PBE（ASA），∴EP=CE=3，∴DP=EP﹣ED=3﹣=． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．切线的性质；3．解直角三角形． 23．（2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°． （1）求证：AM是⊙O的切线； （2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 试题解析：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线； （2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=，∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×﹣ =． 考点：1．切线的判定与性质；2．扇形面积的计算． 24．（2017四川省凉山州）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【解析】 试题解析：（1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD． 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB． 在△COD和△COB中，∵OD=OB，OC=OC，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO=∠CBO． ∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠EDO=90°，∴ED2+OD2=OE2，∴32+R2=（R+1）2，解得R=4，∴⊙O的半径为4． 考点：切线的判定与性质． 25．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N． （1）求证：CA=CN； （2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度． 试题解析：（1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示． ∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°． ∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF． ∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF． ∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN． （2）连接OC，如图2所示． ∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN= = = a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8． 设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=． 考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 26．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）求证：BD2=AC•BQ； （3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 （3）根据题意得到AC•BQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，由切线的性质得到OD⊥PQ，根据平行线的性质得到OD⊥AB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE的长，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论． 试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线； （2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴，∴BD2=AC•BQ； （3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=，∴tan∠ABD=，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=，∴BE=，设OB=OD=R，∴OE=R﹣，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，解得：R=，∴⊙O的半径为． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题． 27．（2017山东省聊城市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 （3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可． 试题解析：（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠DOC=2∠DAC，∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为圆O的半径，∴PD是圆O的切线； （2）证明：∵PD∥BC，∴∠P=∠ABC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PBD=∠ACD，∴△PBD∽△DCA； （3）解：∵△ABC为直角三角形，∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，∴BC=10，∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，∵BC为圆O的直径，∴∠BDC=90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，∴DC=DB=，∵△PBD∽△DCA，∴，则PB===． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．切线的判定与性质；3．圆的综合题． 28．（2017广东省）如图，AB是⊙O的直径，AB=，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：CB是∠ECP的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当时，求劣弧的长度（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 试题解析：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE． （2）证明：连接AC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE． （3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长= =． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算． 29．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部． （1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹） （2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案． 试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求； （2）如图2，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，∴AC===，AB=2BC=18，∠ABC=60°，∴C△ABC=9++18=27+，∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，∴D、G为切点，∴BD=BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵BD=BG，O1B=O1B，∴△O1BD≌△O1BG（HL），∴∠O1BG=∠O1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD= ==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣，∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴，即，∴ =，即圆心O运动的路径长为． 考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题． 30．（2017湖北省鄂州市）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA=PD，AD的延长线交⊙O于点E． （1）求证：； （2）若ED、EA的长是一元二次方程的两根，求BE的长； （3）若MA=，sin∠AMF=，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 试题解析：（1）证明：连接OA、OE交BC于T． ∵AM是切线，∴∠OAM=90°，∴∠PAD+∠OAE=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EDT+∠OEA=90°，∴∠DTE=90°，∴OE⊥BC，∴． （2）∵ED、EA的长是一元二次方程的两根，∴ED•EA=5，∵，∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴，∴BE2=DE•EA=5，∴BE=． （3）作AH⊥OM于H．在Rt△AMO中，∵AM=，sin∠M==，设OA=m，OM=3m，∴9m2﹣m2=72，∴m=3，∴OA=3，OM=9，易知∠OAH=∠M，∴tan∠OAD==，∴OH=1，AH=．BH=2，∴AB===． 考点：1．切线的性质；2．根与系数的关系；3．解直角三角形；4．压轴题． 【2016年题组】 一、选择题 1．（2016江苏省连云港市）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：如图，∵AD=，AE=AF=，AB=，∴AB＞AE＞AD，∴时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，故选B． 考点：点与圆的位置关系． 2．（2016吉林省长春市）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（　　） A．　　　　B．π　　　　C．　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考点：1．弧长的计算；2．切线的性质． 3．（2016山东省德州市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（　　） A．3步　　　　　　B．5步　　　　　　C．6步　　　　　　D．8步 【答案】C． 【解析】 考点：三角形的内切圆与内心． 4．（2016江苏省无锡市）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（　　） A．70°　　　　　　B．35°　　　　　　C．20°　　　　　　D．40° 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴AB⊥AC，∴∠CAB=90°．又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°，∴∠DOA=40°．故选D． 考点：1．切线的性质；2．圆周角定理． 5．（2016河北省）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（　　） A．△ACD的外心　　　　　B．△ABC的外心　　　　C．△ACD的内心　　　　D．△ABC的内心 【答案】A． 【解析】 试题分析：由图中可得：OA=OD=OB=OC==，所以点O在△ACD的外心上，故选A． 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．三角形的外接圆与外心． 6．（2016贵州省贵阳市）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　） A．cm　　　　　　B．cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．cm 【答案】B． 【解析】 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的性质． 7．（2016湖北省襄阳市）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（　　） A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合 B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合 C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合 D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合 【答案】D． 【解析】 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．三角形的外接圆与外心；3．旋转的性质． 8．（2016湖南省湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　） A．相交　　　　B．相切　　　　C．相离　　　　D．不能确定 【答案】A． 【解析】 试题分析：过C作CD⊥AB于D，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，∴3×4=5CD，∴CD=2.4＜2.5，即d＜r，∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；故选A． 考点：直线与圆的位置关系． 9．（2016福建省泉州市）如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（　　） A．15°　　　　　　B．30°　　　　　　C．45°　　　　　　D．60° 【答案】B． 【解析】 考点：切线的性质． 10．（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（　　） A．1＜r＜4　　　　B．2＜r＜4　　　　C．1＜r＜8　　　　D．2＜r＜8 【答案】B． 【解析】 试题分析：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系． 二、填空题 11．（2016内蒙古包头市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ． 【答案】． 【解析】 考点：切线的性质． 12．（2016内蒙古呼和浩特市）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为 ． 【答案】24． 【解析】 试题分析：如图，设AB与⊙O相切于点F，连接OF，OD，延长FO交CD于点E． ∵2πR=26π，∴R=13，∴OF=OD=13，∵AB是⊙O切线，∴OF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD即OE⊥CD，∴CE=ED，∵EF=18，OF=13，∴OE=5，在RT△OED中，∵∠OED=90°，OD=13，OE=5，∴ED===12，∴CD=2ED=24．故答案为：24． 考点：切线的性质． 13．（2016内蒙古赤峰市）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 ． 【答案】8cm． 【解析】 考点：切线的性质． 14．（2016四川省成都市）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ． 【答案】． 【解析】 考点：三角形的外接圆与外心． 15．（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE=OF； 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4； 又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为：． 考点：切线的性质． 16．（2016广