专题08 一元二次方程-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点八：一元二次方程 聚焦考点☆温习理解 一、一元二次方程及有关概念 1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程. 2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数. 3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2. 【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程. 4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 二、一元二次方程的解法： 解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解. 直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法. 三、一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． 四、一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝． 五、一元二次方程的应用 1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步. 2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容： (1)增长率等量关系: A.增长率＝×100%； B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b. (2)利润等量关系: A.利润＝售价-成本； B.利润率＝利润成本×100%. (3)面积问题 名师点睛☆典例分类 考点典例一、解一元二次方程 【例1】（2017江苏省句容市初中崇明片合作共同体月考）解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） （1）（配方法）； （2）（公式法） （3）． （4）． 【答案】（1）x1=1，x2=；（2）x1=, x2=；（3）x1=3，x2=；（4）x1=-5，x2=4. 【解析】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可. 试题解析：（1）， ， ， ， ， ， ∴x1=1，x2=； （3）， （x-3）(x-3+4x)=0， x-3=0或5x-3=0， ∴x1=3，x2=； （4）， 整理得：x2+x-20=0， （x+5）（x-4）=0， x+5=0或x-4=0 ， ∴x1=-5，x2=4. 考点：解一元二次方程. 【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. （1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解; （2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解; （3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解. 【举一反三】 1. （2017天津市宁河区联考）方程2x（x-3）=7（3-x）的根是（ ） A. x=3 B. x= C. x1=3，x2= D. x1=3，x2=- 【答案】D 【解析】2x（x-3）=7（3-x），2x(x-3)+7(x-3)=0，（x-3）(2x+7)=0，∴x1=3，x2=，故选D. 考点：解一元二次方程. 2. （2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 【答案】x1=1，x2=-. 考点:解一元二次方程---因式分解法. 考点典例二、配方法 【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．学科网 【答案】证明见解析；，-. 【解析】 试题分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2（x-）2-，再根据非负数的性质得到-2（x-）2-＜0，即不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，易得当x=时，这个代数式的值最大． 试题解析：3x-2x2-2 =-2x2+3x-2 =-2（x2-x）-2 =-2（x2-x+-）-2 =-2（x-）2-， ∵（x-）2≥0， ∴-2（x-）2≤0， ∴-2（x-）2-＜0， ∴不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数， 且当x=时，这个代数式的值最大，最大值为-． 考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别． 【举一反三】 （2017山东省临沂市郯城县五校联考）用配方法解下列方程，配方正确的是（　　） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 【答案】D. 考点：解一元二次方程. 考点典例三、一元二次方程根的判别式 【例3】（2017贵州遵义第9题）关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m≤ B．m< C．m≤ D．m< 【答案】B. 【解析】 试题分析：根据题意得△=32﹣4m＞0， 解得m＜． 故选B． 考点：根的判别式． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【举一反三】 1. （2017湖南常德第3题）一元二次方程的根的情况为（　　） A．没有实数根　　　　　　　　　　B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根　　　　　　 D．两个不相等的实数根[来源:Z§xx§k.Com] 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 考点：根的判别式． 2.（2017江苏省镇江市质量调研）已知关于x的方程没有实数解，则实数m的取值范围是____． 【答案】. 【解析】 试题分析：∵关于x的方程没有实数解， ∴=（-1）2-4×1×（-m）< 0，即1+4m< 0， 解得． 故答案为：． 考点：根的判别式. 考点典例四、一元二次方程根与系数的关系 【例4】（2017青海西宁第15题）若是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】15 【解析】 试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根， ∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5， ∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15. 考点： 根与系数的关系． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2= 【举一反三】 1.（2017内蒙古呼和浩特第5题）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】B[来源:学&科&网] 考点：根与系数的关系． 2. （2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模）若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为___． 【答案】60． 【解析】 试题分析：根据题意得a+b=12，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×12=60． 考点：一元二次方程的根；根与系数的关系. 考点典例五、一元二次方程的应用 【例5】（2017辽宁营口大石桥中考数学模拟）为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（　　） A. 9700（1﹣2x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700 C. 5000（1﹣2x）=9700 D. 9700（1﹣x）2=5000 【答案】D 【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的应用中的平均降低率. 解析：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，根据题意得 ，9700（1﹣x）2=5000. 故选D. 考点：一元二次方程的应用. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据“2015年钢铁生产量=2013年钢铁生产量×（1+年平均增长率）2”得出方程是解题关键． 【举一反三】 1. （2017四川宜宾第14题）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　 　．学+科网 【答案】50（1﹣x）2=32 【解析】 试题解析：由题意可得， 50（1﹣x）2=32 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 2.（2017广东省中山市教研基地学校学业水平考试）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？【答案】（1）该市举办方应邀请6支球队参赛； （2）该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。 【解析】⑴设该市举办方应邀请支球队参赛 依题意得， 解方程得， （2）16 答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。 考点：一元二次方程的应用. 课时作业☆能力提升 1. （2017山东烟台第10题）若是方程的两个根，且，则的值为（ ） A．或2 B．1或 C. D．1 【答案】D． 【解析】 试题解析：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1． ∵x1+x2=1﹣x1x2， ∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0， 解得：m1=﹣2，m2=1． ∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根， ∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0， 解得：m≥﹣1． ∴m=1． 故选D． 考点：根与系数的关系． 2. （2017天津市红桥区九年级数学 中考预测）y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【解析】∵y=x+1是关于x的一次函数, ， . ∴方程没有实数根； 故选A. 3. a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0 【答案】B. 【解析】 试题分析：由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞０，因此△＝ｂ２－4ａｃ＞０，所以方程有两个不相等的实数根，故答案选Ｂ. 考点：根的判别式. 4. （2017湖北咸宁第6题）已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D．无法判断 【答案】B． 试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选B． 考点：根的判别式；点的坐标． 5. （2017浙江嘉兴第8题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A． B． C． D． [来源:Z.xx.k.Com] 【答案】B． 【解析】 试题解析：∵x2+2x-1=0， ∴x2+2x-1=0， ∴（x+1）2=2． 故选B． 考点：解一元二次方程-配方法． 6．（2017届四川省眉山市华兴联谊学校初中中考适应性考试）设， 是方程的两个实数根，则 ( ) . A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 【答案】C 【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2017，再计算x31=x21+2017x1=2018x1 – 2017，则原式可化简2018（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解. 解：∵x1是方程x2 – x – 2017=0的两实数根， ∴x21=x1+2017， ∴x31=x21+2017x1=x1+2017+2017x1=2018x1+2017， ∴原式=2018x1+2017+2018x2-2017=2018（x1+x2）， ∵x1，x2是方程x2-x-2016=0的两实数根， ∴x1+x2=1， ∴原式=2018. ∴故答案为：2018.． 考点：一元二次方程的解；根与系数的关系． 7. （2017贵州六盘水第12题）三角形的两边的夹角为且满足方程，则第三边长的长是( )[来源:Z#xx#k.Com] A. B. C. D. 【答案】 试题分析：解方程可a= ，如图所示，在Rt△ACD中，CD=×cos60°=，BD=2-=，AD=×sin60°=，所以,故选A. 考点：一元二次方程；勾股定理. 8. （2017黑龙江齐齐哈尔第6题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】C 考点：根的判别式． 9. （2017辽宁大连第13题）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】c＜1. 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论． ∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0， 解得：c＜1．故答案为c＜1． 考点：根的判别式. 10. （2017湖南张家界第12题）已知一元二次方程的两根是m，n，则= ． 【答案】17． 【解析】 试题分析：∵m，n是一元二次方程的两个根，∴m+n=3，mn=﹣4，则==9+8=17．故答案为：17． 考点：根与系数的关系． 11.（2017安徽省淮南市潘集区九年级上学期第一次联考）方程x2+3x+1=0的解是x1=______,x2=______． 【答案】 【解析】a=1，b=3，c=1， △=b2﹣4ac=9-4=5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x== ∴x1= ，x2=. 考点：解一元二次方程． 12.（2017苏科版南京栖霞区期末模拟）如果－－8=0，则的值是________． 【答案】4或－2 【解析】 ， ， 所以： 或， 故答案为：4或-2. 考点：解一元二次方程. 13.（2018届江苏省灌云县西片九年级上学期第二次月考）已知关于x的方程 x2﹣2x+k=0. （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程． 【答案】（1）k≤1；（2）答案不唯一. 考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系. 14. （2017湖北孝感第21题） 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 . （1）求的取值范围； （2）若满足 ，求的值. 【答案】（1）m≤5；（2）4. 【解析】 试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20﹣4m≥0，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值． 试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=6①，x1x2=m+4②． ∵3x1=|x2|+2， 当x2≥0时，有3x1=x2+2③，[来源:学&科&网Z&X&X&K] 联立①③解得：x1=2，x2=4， ∴8=m+4，m=4； 当x2＜0时，有3x1=﹣x2+2④， 联立①④解得：x1=﹣2，x2=8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的m的值为4． 考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式. 15. （2017山东烟台第21题）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.学科！网 （1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 【答案】（1）10%．（2）去B商场购买足球更优惠． 【解析】 试题分析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商 城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论． 试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， 根据题意得：200×（1﹣x）2=162， 解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）． 答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%． （2）100×≈90.91（个）， 在A商城需要的费用为162×91=14742（元）， 在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）． 14742＞14580． 答：去B商场购买足球更优惠． 考点：一元二次方程的应用． 16. （2017黑龙江绥化第24题）已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值． 【答案】（1）当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为﹣4． 【解析】 试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值． 试题解析：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0， 解得：m＞﹣ ． ∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的两根分别为a、b， 根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4． ∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25， 解得：m=﹣4或m=2． ∵a＞0，b＞0， ∴a+b=﹣2m﹣1＞0， ∴m=﹣4． 若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4． 考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.菱形的性质． 17.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）； （2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？ （3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。 【答案】（1）92亿元；（2）8%；（3）10%. 试题解析： （1）1300×7.1%≈92（亿元）． 答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元； （2）（1300﹣1204）÷1204×100% =96÷1204×100% ≈8%． 答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%； （3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x， 依题意得1300（1+x）2=1573， ∴1+x=±1.21， ∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）． 答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%． 考点：1.一元二次方程的应用；2.扇形统计图；3.条形统计图. 18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！