2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组a卷）.doc

2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组A卷） 一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分） 1．（8分）算式的计算结果是　 　． 2．（8分）销售一种商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高　 　%． 3．（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数，那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是　 　年． 4．（8分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会了再有2个山妖打倒，但是又站起来了10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有　 　个． 5．（8分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是　 　． 二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分） 6．（10分）请将0﹣9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是　 　． 7．（10分）2016名同学排成一排，从左到右依次按照1，2…，n报数（n≥2），若第2016名同学所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有　 　名同学将不可能得到新年礼物． 8．（10分）如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是　 　平方厘米． 9．（10分）四位数除以两位数的余数恰好为，如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质，那么四位数最大是　 　． 10．（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话： A说：“我的数最小，而且是个质数．” B说：“我的数是一个完全平方数．” C说：“我的数第二小，恰有6个因数．” D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．” E说：“我的数是某人的数的3倍．” 那么这五个两位数之和是　 　． 三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分） 11．（12分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是12厘米，AC的长度是24厘米，D、E分别在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是　 　平方厘米． 12．（12分）已知S＝+++…+，那么S的小数点后第2016位是　 　． 13．（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B地开出的第6辆班车追上；乙到A地时，恰被B地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B地还有21千米．那么乙的速度是每小时　 　千米． 14．（12分）将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式：如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有　 　种不同方式． 2016年“迎春杯”数学花园探秘决赛试卷（小高组A卷） 参考答案与试题解析 一、填空题（共5小题，每小题8分，满分40分） 1．（8分）算式的计算结果是　2017　． 【解答】解： ＝ ＝ ＝2016×（1+） ＝2017； 故答案为：2017． 2．（8分）销售一种商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高　12　%． 【解答】解：1+25%＝125% 1+40%＝140% （140%﹣125%）÷125% ＝15%÷125% ＝12% 答：售价应该提高 12%． 故答案为：12． 3．（8分）小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数，那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是　2088　年． 【解答】解：依题意可知： 6，8，9的最小公倍数为：8×3×3＝72． 2016后的下一个数字就是2016+72＝2088． 故答案为：2088． 4．（8分）在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖，有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会了再有2个山妖打倒，但是又站起来了10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一，那么现在站着的山妖有　35　个． 【解答】解：根据分析，一开始打倒的比站着的多，所以打倒的占总山妖的，过一会儿，站着的比打倒的多， ∴打倒的占总山妖的；这中间打倒的数量减少了8个， ∴一共有山妖：8÷（）＝63； 此时，站着的山妖有：63×＝35个． 故答案是：35． 5．（8分）在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是　46123　． 【解答】解：依题意可知： 首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6． 继续推理可知答案如图所示： 故答案为：46123． 二、填空题（共5小题，每小题10分，满分50分） 6．（10分）请将0﹣9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是　2196　． 【解答】解：依题意可知：设字母如图所示 首先这个四位数的千位如果A≥3，则不可能减完以后得2016．所有A＝2． 其次后面的两个数的乘积为整数，是100的倍数．所以这两个乘数一个是4的倍数一个是25的倍数． 所有必有一个数是以75结尾的．如果＝75．则与的积大于200．等式不可能成立． 当＝375，如果≥60，同样的道理等式不成立，所有是小于60的4的倍数，剩下的数（4，6，8，9）中，只能是48满足要求． 所有． 所有这个四位数是2016+375×0.48＝2196．原式是2196﹣375×0.48＝2016． 故答案为：2196． 7．（10分）2016名同学排成一排，从左到右依次按照1，2…，n报数（n≥2），若第2016名同学所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物．那么无论n取何值，有　576　名同学将不可能得到新年礼物． 【解答】解：首先从左到右这2016名同学编号为1﹣2016．如果某个同学报的数是n，则说明这个同学的编号恰好是n的倍数，所以n的倍数的同学都是n的倍数，那么n一定能被2016整除，对2016分解质因数2016＝25×32×7．那么与2016互质的数字是永远不可能得到礼物的． 互质的个数有2016×××＝576（个）． 故答案为：576． 8．（10分）如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是　672　平方厘米． 【解答】解：根据分析，如图，首先将阴影部分等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a， 四边形面积为b，整个正十二边形是由12个a这样的正三角形和6个b这样的四边形组成， 而阴影部分是由4个a这样的正三角形和2个b这样的四边形组成，恰好是整个正十二边形的， 故阴影部分面积＝2016×＝672平方厘米． 故答案是：672． 9．（10分）四位数除以两位数的余数恰好为，如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质，那么四位数最大是　7281　． 【解答】解：依题意可知： 除以两位的余数恰好为，则除以余数也是． 所以＝+，即＝×N． 由余数与除数的关系可知，，设，的公因数为d． 则有（）×99＝（÷d）×N． 因为与互质，那么就是99的约数．所以的结果为9（11，1和99，33和3都不符合题意）． 为了使最大，＝9×d，．当d＝9时．取最大值7281． 故答案为：7281 10．（10分）老师用0至9这十个数字组成五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话： A说：“我的数最小，而且是个质数．” B说：“我的数是一个完全平方数．” C说：“我的数第二小，恰有6个因数．” D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．” E说：“我的数是某人的数的3倍．” 那么这五个两位数之和是　180　． 【解答】解：A能判断出自己的数最小，说明A的十位是1，又因为是一个质数，所以A可能是13，17，19； C能判定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32； B是一个完全平方数，但不能含有1、2，所以B的数可能是36，49，64； D又能刚好知道A，B，C三人中的其中两个数，经实验，D＝36，37，39，40，47，48，49时，可以推断出A，B，C三人中的其中两个数，如下： 发现无论哪种情况，5均没有出现，所以E中一定有一个数字5； E说自己的数字是某个人的数的三倍，与5组合能构成3的倍数的数只有7还没有被用到，所以E的数只能是57或75，显然75÷3＝25没有在上表中出现过，所以E的数是57， 则ABCDE这5个人手中的数有以下两种可能：19，36，28，40，57或者19，36，20，48，57， 19+36+28+40+57＝180 19+36+20+48+57＝180 答：这五个两位数之和是 180． 故答案为：180． 三、填空题（共4小题，每小题12分，满分48分） 11．（12分）如图，直角三角形ABC中，AB的长度是12厘米，AC的长度是24厘米，D、E分别在AC、BC上，那么等腰直角三角形BDE的面积是　80　平方厘米． 【解答】解：根据分析，如图，作DF⊥BC交BC于F，在等腰直角三角形BDE里，很显然FB＝FD＝FE， 在△ABC中，在AB⊥AC的情况下，AB：AC＝1：2，同样的道理，DF⊥FC，所以DF：FC＝1：2， 又∵DF＝FE，∴DF＝EC，即FD＝FB＝FE＝EC，∴BE＝，故， 所以，阴影部分的面积S＝＝（平方厘米）． 故答案是：80． 12．（12分）已知S＝+++…+，那么S的小数点后第2016位是　4　． 【解答】解：根据分析， S＝+++…+＝0.++++…+；＝， 小数点后第n，2n，3n…位都是1，当n是2016的约数时，小数点后第2016位是1，其它情况小数点的2016位是0， ，2016＝25×32×7，有（5+1）×（2+1）（1+1）＝36个约数，而大于1000的约数有两个：1008、2016，不大于1000的约数有：36﹣2＝34个； 在不考虑进位的情况下，这一位上有34个1相加，这一位的数字是4． 下面考虑进位， 第2017位：2017是质数∴2017位上只有1个1相加，不构成进位； 第2018位：2018＝2×1009，有4个约数，所以2018位上有2个1累加，也不构成进位； 第2019位及以后都不足以进位到第2016位上； 综上所述，S小数点后第2016位是4． 故答案是：4． 13．（12分）A、B两地间每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲乙相遇时，甲被A地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B地开出的第6辆班车追上；乙到A地时，恰被B地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B地还有21千米．那么乙的速度是每小时　27　千米． 【解答】解：依题意可知： 设甲乙在C点相遇，由于班车的速度一定，所以从某一辆车追上甲（乙）到下一辆车追上甲（乙）的时间是相等的． 先考虑乙B到C（相遇点），乙被6辆车追上，从C到A又被2辆车追上，说B到C的时间是A到C的时间的3倍． 所以BC＝3AC．又因为C是相遇点，所以乙的速度是甲的速度的3倍．所以当乙走完全程时，甲走完全程的． 此时甲距离B还有21千米，所以全程的路程是21÷（1﹣）＝千米． 当甲乙相遇时，甲被9辆车追上，乙被6辆车追上，追上乙的那辆车比追上甲的那辆车早出发了15分钟．即小时． 因为两车相遇是全程的四等分点，所以追上乙的那辆车比追上甲的那辆车夺走了全程的，即千米． 所以班车的速度是÷＝63千米/小时．所以班车跑完全程需要÷63＝小时． 在乙到达A第8辆车恰好追上，这辆车出发时乙已经走了40分钟，即小时．这辆车在路上用去小时． 乙从B到A共用了小时． 那么乙的速度是＝27千米/小时； 故答案为：27 14．（12分）将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式：如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有　21　种不同方式． 【解答】解：如图： 1+8+4+8＝21（种） 答：共有21种不同的方法． 故答案为：21． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/5 18:16:37；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第11页（共11页）