2015-2016学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2015-2016学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的. 1．（3分）如图图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．6，7，11 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有实数根，则下列四个数中，满足条件的k值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 7．（3分）用配方法解方程x2+6x+1＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝2 C．（x+3）2＝8 D．（x﹣3）2＝8 8．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．40 cm 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣1＝0的一个根是0，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1 10．（3分）一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成，如图1所示．为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（　　） A．A→B B．B→C C．C→D D．D→A 二、填空题（共18分，每小题3分） 11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是　 　． 12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝　 　． 13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 375 350 375 350 方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4 根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择　 　． 14．（3分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 15．（3分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为　 　． 16．（3分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，△ABC及AC边的中点O． 求作：平行四边形ABCD． 小敏的作法如下： ①连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO； ②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形． 老师说：“小敏的作法正确．” 请回答：小敏的作法正确的理由是　 　． 三、解答题（共52分，第17-21题每题4分，第22-25题每题5分，第26-27题每题6分） 17．（4分）计算：． 18．（4分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 19．（4分）已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2． 求证：AE＝CF． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A． （1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点B的对应点B1的坐标为　 　； （2）在（1）的条件下，连接BB1，则线段BB1的长度为　 　． 21．（4分）直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）点C在x轴上，且S△ABC＝3S△AOB，直接写出点C坐标． 22．（5分）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级（1）班40名学生读书册数的情况如表： 读书册数 4 5 6 7 8 人数（人） 6 4 10 12 8 根据表中的数据，求： （1）该班学生读书册数的平均数； （2）该班学生读书册数的中位数． 23．（5分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应： 摄氏温度x（℃） … 0 5 10 15 20 25 … 华氏温度y（℉） … 32 41 50 59 68 77 … 已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数． （1）求该一次函数的表达式； （2）当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度． 24．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积． 25．（5分）问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … ①m＝　 　； ②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝　 　； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： ①该函数的最小值为　 　； ②已知直线与函数y＝|x|﹣2的图象交于C、D两点，当y1≥y时x的取值范围是　 　． 26．（6分）定义：对于线段MN和点P，当PM＝PN，且∠MPN≤120°时，称点P为线段MN的“等距点”．特别地，当PM＝PN，且∠MPN＝120°时，称点P为线段MN的“强等距点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为． （1）若点B是线段OA的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为（　 　，　 　）； （2）若点C是线段OA的“等距点”，则点C的纵坐标t的取值范围是　 　； （3）将射线OA绕点O顺时针旋转30°得到射线l，如图2所示．已知点D在射线l上，点E在第四象限内，且点E既是线段OA的“等距点”，又是线段OD的“强等距点”，求点D坐标． 27．（6分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E． （1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE 之间的数量关系； （2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）若AC＝3，CD＝，请直接写出CE的长． 2015-2016学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共30分，每小题3分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的. 1．（3分）如图图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】化简得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、，本选项不合题意； B、，本选项不合题意； C、，本选项不合题意； D、不能化简，符号题意； 故选：D． 【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 3．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．6，7，11 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误； B、32+42≠62，不能构成直角三角形，故选项错误； C、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项正确； D、62+72≠112，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键． 4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有实数根，则下列四个数中，满足条件的k值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于k的一元一次不等式9﹣4k≥0，解不等式得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程x2+3x+k＝0有实数根， ∴△＝32﹣4×1×k＝9﹣4k≥0， 解得：k≤． 在A、B、C、D选项中只有A中的2符合条件． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式9﹣4k≥0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式得出不等式是关键． 5．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝5，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BE＝AB＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE＝AB是解决问题的关键． 6．（3分）某市一周的日最高气温如图所示，则该市这周的日最高气温的众数是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可． 【解答】解：由图形可知，25出现了3次，次数最多，所以众数是25． 故选：A． 【点评】本题考查了众数的概念，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 7．（3分）用配方法解方程x2+6x+1＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝2 C．（x+3）2＝8 D．（x﹣3）2＝8 【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【解答】解：∵x2+6x+1＝0 ∴x2+6x＝﹣1， ∴x2+6x+9＝﹣1+9， ∴（x+3）2＝8； 故选：C． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤是： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8．（3分）如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．40 cm 【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得菱形的边长即BC＝2OM，从而不难求得其周长． 【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10， 则菱形ABCD的周长为40cm． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣1＝0的一个根是0，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x＝0代入方程求解可得m的值． 【解答】解：把x＝0代入方程x2+x+m2﹣1＝0， 得m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， 故选：D． 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念． 10．（3分）一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成，如图1所示．为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（　　） A．A→B B．B→C C．C→D D．D→A 【分析】观察图形，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越近到0，再先近后远，确定出寻宝者的行进路线即可． 【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越近到距离为0，再由0到远距离与前段距离相等， 结合图1得：寻宝者的行进路线可能为A→B， 故选：A． 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化趋势是解本题的关键． 二、填空题（共18分，每小题3分） 11．（3分）函数中，自变量x的取值范围是　x≥3　． 【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解． 【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案是：x≥3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣4，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为x＝　﹣4　． 【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标． 【解答】解：由图知：直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣4，0）， 即当x＝﹣4时，y＝kx+b＝0； 因此关于x的方程kx+b＝0的解为：x＝﹣4． 故答案为：﹣4 【点评】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标解答． 13．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 375 350 375 350 方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4 根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择　丙　． 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【解答】解：∵乙和丁的平均数最小， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵丙的方差最小， ∴选择丙参赛， 故答案为：丙 【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14．（3分）已知P1（﹣3，y1）、P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，则y1　＜　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】先根据一次函数y＝2x+1中k＝2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝2＞0， ∴此函数是增函数， ∵﹣3＜2， ∴y1＜y2． 故答案为＜． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 15．（3分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　． 【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程． 【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步． 根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864． 故答案为：x（x﹣12）＝864． 【点评】本题为面积问题，考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积＝矩形的长×矩形的宽． 16．（3分）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 已知：如图1，△ABC及AC边的中点O． 求作：平行四边形ABCD． 小敏的作法如下： ①连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO； ②连接DA、DC．所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形． 老师说：“小敏的作法正确．” 请回答：小敏的作法正确的理由是　对角线互相平分的四边形是平行四边形或中点的定义　． 【分析】由题意可得OA＝OC，OB＝OD，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得结论． 【解答】解：∵O是AC边的中点， ∴OA＝OC， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形或中点的定义． 【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键． 三、解答题（共52分，第17-21题每题4分，第22-25题每题5分，第26-27题每题6分） 17．（4分）计算：． 【分析】先计算乘法，然后计算加减． 【解答】解：原式＝3+2﹣2 ＝5﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，掌握好运算顺序是解题的关键． 18．（4分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【分析】此题可以采用配方法：首先将常数项3移到方程的左边，然后再在方程两边同时加上4，即可达到配方的目的，继而求得答案； 此题也可采用公式法：注意求根公式为把x＝，解题时首先要找准a，b，c； 此题可以采用因式分解法，利用十字相乘法分解因式即可达到降幂的目的． 【解答】解法一：移项得 x2﹣4x＝﹣3，（1分） 配方得 x2﹣4x+4＝﹣3+4， ∴（x﹣2）2＝1，（2分） 即 x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1，（3分） ∴x1＝3，x2＝1；（5分） 解法二：∵a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，（1分） ∴，（3分） ∴x1＝3，x2＝1；（5分） 解法三：原方程可化为 （x﹣1）（x﹣3）＝0，（1分） ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，（3分） ∴x1＝1，x2＝3．（5分） 【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意解题时选择适当的解题方法，此题采用因式分解法最简单． 19．（4分）已知：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1＝∠2． 求证：AE＝CF． 【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠2， ∴AE∥CF， ∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A． （1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点B的对应点B1的坐标为　（﹣4，3）　； （2）在（1）的条件下，连接BB1，则线段BB1的长度为　5　． 【分析】（1）根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B1的坐标； （2）利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）如图． 点B1（﹣4，3）； （2）由勾股定理得，BB1＝＝5． 故答案为：（﹣4，3）；5． 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 21．（4分）直线y＝2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）点C在x轴上，且S△ABC＝3S△AOB，直接写出点C坐标． 【分析】（1）分别令y＝2x﹣2中x＝0、y＝0求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标； （2）设点C的坐标为（m，0），根据三角形的面积公式结合两三角形面积间的关系即可得出关于m含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）令y＝2x﹣2中y＝0，则2x﹣2＝0，解得：x＝1， ∴A（1，0）． 令y＝2x﹣2中x＝0，则y＝﹣2， ∴B（0，﹣2）． （2）依照题意画出图形，如图所示． 设点C的坐标为（m，0）， S△AOB＝OA•OB＝×1×2＝1，S△ABC＝AC•OB＝|m﹣1|×2＝|m﹣1|， ∵S△ABC＝3S△AOB， ∴|m﹣1|＝3， 解得：m＝4或m＝﹣2， 即点C的坐标为（4，0）或（﹣2，0）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出A、B的坐标；（2）找出关于m的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式结合面积间的关系找出方程是关键． 22．（5分）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级（1）班40名学生读书册数的情况如表： 读书册数 4 5 6 7 8 人数（人） 6 4 10 12 8 根据表中的数据，求： （1）该班学生读书册数的平均数； （2）该班学生读书册数的中位数． 【分析】（1）根据平均数＝，求出该班同学读书册数的平均数； （2）将图表中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念求解即可． 【解答】解：（1）该班学生读书册数的平均数为：＝6.3（册）， 答：该班学生读书册数的平均数为6.3册． （2）将该班学生读书册数按照从小到大的顺序排列， 由图表可知第20名和第21名学生的读书册数分别是6册和7册， 故该班学生读书册数的中位数为：＝6.5（册）． 答：该班学生读书册数的中位数为6.5册． 【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，解答本题的关键在于熟练掌握求解平均数的公式和中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 23．（5分）世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度（℉）．两种计量之间有如表对应： 摄氏温度x（℃） … 0 5 10 15 20 25 … 华氏温度y（℉） … 32 41 50 59 68 77 … 已知华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数． （1）求该一次函数的表达式； （2）当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度． 【分析】（1）设y＝kx+b，利用图中的两个点，建立方程组，解之即可； （2）令y＝﹣4，求出x的值，再比较即可． 【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）． 由题意，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝1.8x+32． （2）当y＝﹣4时，代入得﹣4＝1.8x+32，解得x＝﹣20． ∴华氏温度﹣4℉所对应的摄氏温度是﹣20℃． 【点评】本题考查一次函数的应用，只需仔细分析表中的数据，利用待定系数法即可解决问题． 24．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形． （2）方法一：解直角三角形求出BC＝2．AB＝2，根据矩形和菱形的性质得出，S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED，即可求出菱形的面积． 方法二：解直角三角形求出BC＝2．AB＝DC＝2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝1，OE＝2OF＝2，即可求出菱形的面积． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OC＝OD， ∴▱OCED是菱形； （2）方法一：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4， ∴BC＝2，AB＝2， ∵S△COD＝S矩形ABCD＝S菱形OCED， ∴S菱形OCED＝×2×2＝2． 方法二：解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4， ∴BC＝2， ∴AB＝DC＝2， 如图，连接OE，交CD于点F， ∵四边形OCED为菱形， ∴F为CD中点， ∵O为BD中点， ∴OF＝BC＝1， ∴OE＝2OF＝2， ∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2． 【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半． 25．（5分）问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … ①m＝　1　； ②若A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，则n＝　﹣10　； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象； 根据函数图象可得： ①该函数的最小值为　﹣2　； ②已知直线与函数y＝|x|﹣2的图象交于C、D两点，当y1≥y时x的取值范围是　﹣1≤x≤3　． 【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，即可求出m； ②把y＝8代入y＝|x|﹣2，即可求出n； （3）①画出该函数的图象即可求解； ②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数y＝|x|﹣2的图象，根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围． 【解答】解：（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝3﹣2＝1． 故答案为1； ②把y＝8代入y＝|x|﹣2，得8＝|x|﹣2， 解得x＝﹣10或10， ∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点， ∴n＝﹣10． 故答案为﹣10； （3）该函数的图象如图， ①该函数的最小值为﹣2； 故答案为﹣2； ②在同一平面直角坐标系中画出函数与函数y＝|x|﹣2的图象， 由图形可知，当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤3． 故答案为﹣1≤x≤3． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 26．（6分）定义：对于线段MN和点P，当PM＝PN，且∠MPN≤120°时，称点P为线段MN的“等距点”．特别地，当PM＝PN，且∠MPN＝120°时，称点P为线段MN的“强等距点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为． （1）若点B是线段OA的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为（　　，　1　）； （2）若点C是线段OA的“等距点”，则点C的纵坐标t的取值范围是　t≥1或t≤﹣1　； （3）将射线OA绕点O顺时针旋转30°得到射线l，如图2所示．已知点D在射线l上，点E在第四象限内，且点E既是线段OA的“等距点”，又是线段OD的“强等距点”，求点D坐标． 【分析】（1）过点B作BM⊥x轴于点M，根据“强等距点”的定义可得出∠ABO＝120°，BO＝BA，根据等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值即可求出线段OM、BM的长度，再由点B在第一象限即可得出结论； （2）结合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出t的取值范围； （3）根据“等距点”和“强等距点”的定义可得出相等的线段和角，在直角三角形中利用特殊角的三角函数值即可求出点E的坐标，再通过平行线的性质找出点D的坐标即可． 【解答】解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，如图1所示． ∵点B是线段OA的“强等距点”， ∴∠ABO＝120°，BO＝BA， ∵BM⊥x轴于点M， ∴OM＝AM＝OA＝，∠OBM＝∠ABO＝60°． 在Rt△OBM中，OM＝，∠OBM＝60°， ∴BM＝＝1． ∴点B的坐标为（，1）或（，﹣1）， ∵点B在第一象限， ∴B（，1）． 故答案为：（，1）． （2）由（1）可知：线段OA的“强等距点”坐标为（，﹣1）或（，1）． ∵C是线段OA的“等距点”， ∴点C在点（，1）的上方或点（，﹣1）下方， ∴t≥1或t≤﹣1． 故答案为：t≥1或t≤﹣1． （3）根据题意画出图形，如图2所示． ∵点E是线段OA的“等距点”， ∴EO＝EA， ∴点E在线段OA的垂直平分线上．设线段OA的垂直平分线交x轴于点F． ∵A（2，0）， ∴F（，0）． ∵点E是线段OD的“强等距点”， ∴EO＝ED，且∠OED＝120°， ∴∠EOD＝∠EDO＝30°． ∵点E在第四象限， ∴∠EOA＝60°． ∴在Rt△OEF中，EF＝OF•tan∠EOA＝3，OE＝＝2． ∴E（，﹣3）． ∴DE＝OE＝2． ∵∠AOD＝∠EOD＝30°， ∴ED∥OA． ∴D（3，﹣3）． 【点评】本题考查了解直角三角形、特殊角的三角形函数值、等腰三角形的性质以及平行线的判定及性质，解题的关键是：（1）求出线段OM、BM的长度；（2）求出点C为“强等距点”时得坐标；（3）求出点E的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键． 27．（6分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E． （1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE 之间的数量关系； （2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）若AC＝3，CD＝，请直接写出CE的长． 【分析】（1）过点D作DM⊥直线l交CA的延长线于点M，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质可得出∠AMD＝45°＝∠ECD，CD＝MD．再通过角的计算得出∠EDC＝∠ADM，由此即可证出△ADM≌△EDC，从而得出DA＝DE； （2）过点D直线l的垂线，交AC于点F，通过角的计算以及等腰直角三角形的性质即可证得△CDE≌△FDA，由此即可得出结论DA＝DE； （3）分两种情况考虑：①点D在点C的右侧时，如同（1）过点A作AN⊥DM于点N，通过解直角三角形即可求出AM的长度，根据全等三角形的性质即可得出结论；②当点D在C点的右侧时，过点A作AN⊥DM于点N，结合（1）（2）的结论以及等腰直角三角形的性质即可求出线段CN个NE的长度，二者相加即可得出结论． 【解答】解：（1）过点D作DM⊥直线l交CA的延长线于点M，如图1所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°． ∵直线l∥AB， ∴∠ECD＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAC＝45°， ∵DM⊥直线l， ∴∠CDM＝90°， ∴∠AMD＝45°＝∠ECD，CD＝MD． ∵∠EDC+∠CDA＝90°，∠CDA+∠ADM＝90°， ∴∠EDC＝∠ADM． 在△ADM和△EDC中，有， ∴△ADM≌△EDC（ASA）， ∴DA＝DE． （2）证明：过点D直线l的垂线，交AC于点F，如图2所示． ∵△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B＝45°． ∵直线l∥AB， ∴∠DCF＝∠CAB＝45°． ∵FD⊥直线l， ∴∠DCF＝∠DFC＝45°． ∴CD＝FD． ∵∠DFA＝180°﹣∠DFC＝135°，∠DCE＝∠DCA+∠BCA＝135°， ∴∠DCE＝∠DFA． ∵∠CDE+∠EDF＝90°，∠EDF+∠FDA＝90°， ∴∠CDE＝∠FDA． 在△CDE和△FDA中，有， ∴△CDE≌△FDA（ASA）， ∴DE＝DA． （3）CD＝分两种情况： ①当点D在C点的右侧时，过点A作AN⊥DM于点N，如图3所示． ∵△ADM≌△EDC， ∴DM＝DC＝，CE＝AM， ∵AC＝3， ∴DN＝AC＝， ∴NM＝DM﹣DN＝， ∴AM