2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 3．（4分）若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 4．（4分）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 7．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　） A． B． C．1 D．2 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　） A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 9．（4分）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　 　cm2．（结果保留π） 10．（4分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　 　m． 11．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　 　． 12．（4分）对于正整数n，定义F（n）＝，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝f（123）＝12+32＝10．规定F1（n）＝F（n），Fk+1（n）＝F（Fk（n））．例如：F1（123）＝F（123）＝10，F2（123）＝F（F1（123））＝F（10）＝1． （1）求：F2（4）＝　 　，F2015（4）＝　 　； （2）若F3m（4）＝89，则正整数m的最小值是　 　． 三、解答题（共13小题，满分72分） 13．（5分）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1． 14．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE． 15．（5分）已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的实数根，求代数式的值． 16．（5分）抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 18．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值． 19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值． 20．（5分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值． 21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB＝2∠BAF． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若AB＝，AD＝2，求线段PC的长． 22．（5分）阅读下面材料： 小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC＝　 　；tan∠AOD＝　 　； 解决问题： 如图3，计算：tan∠AOD＝　 　． 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）． （1）求代数式mn的值； （2）若二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值； （3）若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 24．（7分）如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α． （1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF． ①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S＝mn为图形W的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m＝2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n＝2．则图形W的测度面积S＝mn＝4 （1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA＝OB＝1． ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S＝　 　； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S＝　 　； （2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为　 　； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 【分析】求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可． 【解答】解：x2﹣3x﹣5＝0， △＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据三角函数的定义求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴sinA＝＝． 故选：A． 【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点： 正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边：斜边＝a：c． 3．（4分）若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定． 4．（4分）小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号， ∴抽到的座位号是偶数的概率是：＝． 故选：C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 5．（4分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据位似变换的性质得到＝，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到＝，所以＝，然后把OC1＝OC，AB＝4代入计算即可． 【解答】解：∵C1为OC的中点， ∴OC1＝OC， ∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴＝，B1C1∥BC， ∴＝， ∴＝， 即＝ ∴A1B1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 6．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小． 【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点， ∴y1＝﹣，y2＝﹣， ∵x1＜0＜x2， ∴y2＜0＜y1． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 7．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF＝AD，即可求出答案． 【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2， ∴AD＝CD＝1， ∵OD⊥AC，EF⊥AB， ∴∠ADO＝∠OFE＝90°， ∵OE∥AC， ∴∠DOE＝∠ADO＝90°， ∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EF＝90°， ∴∠DAO＝∠EOF， 在△ADO和△OFE中， ， ∴△ADO≌△OFE（AAS）， ∴OF＝AD＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　） A．线段EF B．线段DE C．线段CE D．线段BE 【分析】作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论． 【解答】解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G． 由题意：当点E与点O重合时，即AE＝时，FE有最小值0，与函数图象不符，故A错误； 由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AE＞时，DE有最小值，故B正确； ∵CE＝AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误； 由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 9．（4分）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　3π　cm2．（结果保留π） 【分析】知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出． 【解答】解：由S＝知 S＝×π×32＝3πcm2． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S＝． 10．（4分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　24　m． 【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解． 【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm， 由题意得，＝， 解得x＝24， 即这栋建筑物的高度为24m． 故答案为：24． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键． 11．（4分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　x1＝﹣2，x2＝1　． 【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组的解为，， 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1． 故答案为x1＝﹣2，x2＝1． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题． 12．（4分）对于正整数n，定义F（n）＝，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）＝62＝36，F（123）＝f（123）＝12+32＝10．规定F1（n）＝F（n），Fk+1（n）＝F（Fk（n））．例如：F1（123）＝F（123）＝10，F2（123）＝F（F1（123））＝F（10）＝1． （1）求：F2（4）＝　37　，F2015（4）＝　26　； （2）若F3m（4）＝89，则正整数m的最小值是　6　． 【分析】通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可． 【解答】解：（1）F2（4）＝F（F1（4））＝F（16）＝12+62＝37； F1（4）＝F（4）＝16，F2（4）＝37，F3（4）＝58， F4（4）＝89，F5（4）＝145，F6（4）＝26，F7（4）＝40，F8（4）＝16， 通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）＝26； （2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）＝89＝F18（4），因此3m＝18，所以m＝6． 故答案为：（1）37，26；（2）6． 【点评】本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键． 三、解答题（共13小题，满分72分） 13．（5分）计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1． 【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE． 【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC＝∠BEC＝90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论． 【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠ADC＝∠BEC， 而∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质． 15．（5分）已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的实数根，求代数式的值． 【分析】把x＝m代入方程得到m2﹣2＝3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2＝3m代入计算即可求出值． 【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣3m﹣2＝0，即m2﹣2＝3m， 则原式＝＝＝3． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（5分）抛物线y＝2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式． 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y＝2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式． 【解答】解：设平移后的抛物线的表达式为y＝2x2+bx+c， 把点A（0，3），B（2，3）分别代入得，解得， 所以平移后的抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x+3． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式； （2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标． 【解答】解： （1）把x＝2代入y＝2x中，得y＝2×2＝4， ∴点A坐标为（2，4）， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）∵AC⊥OC， ∴OC＝2， ∵A、B关于原点对称， ∴B点坐标为（﹣2，﹣4）， ∴B到OC的距离为4， ∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×4＝8， ∴S△OPC＝8， 设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||， ∴×||×2＝8，解得x＝1或﹣1， ∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键． 18．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠ABE的值． 【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA＝＝，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD＝AB＝5； （2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，于是可计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴sinA＝＝， 而BC＝8， ∴AB＝10， ∵D是AB中点， ∴CD＝AB＝5； （2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6， ∵D是AB中点， ∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC， ∴S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC， ∴BE＝＝， 在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝， 即cos∠ABE的值为． 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式． 19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值． 【分析】（1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可． 【解答】解：（1）由已知得：m≠0且△＝（m+2）2﹣8m＝（m﹣2）2＞0， 则m的范围为m≠0且m≠2； （2）方程解得：x＝，即x＝1或x＝， ∵x2＜0，∴x2＝＜0，即m＜0， ∵＞﹣1， ∴＞﹣1，即m＞﹣2， ∵m≠0且m≠2， ∴﹣2＜m＜0， ∵m为整数， ∴m＝﹣1． 【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0． 20．（5分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值． 【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式； （2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【解答】解：（1）由题意，得 y＝（100﹣5x）（2x+4）， y＝﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）； 答：y关于x的函数关系式为y＝﹣10x2+180x+400； （2）∵y＝﹣10x2+180x+400， ∴y＝﹣10（x﹣9）2+1210． ∵1≤x≤10的整数， ∴x＝9时，y最大＝1210． 答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元． 【点评】本题考查了总利润＝单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB＝2∠BAF． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若AB＝，AD＝2，求线段PC的长． 【分析】（1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE＝CE，∠OEC＝90°，又由∠PCB＝2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB＝90°，继而证得直线PC是⊙O的切线； （2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝3﹣r，则可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵AD与⊙O相切于点A， ∴FA⊥AD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴FA⊥BC． ∵FA经过圆心O， ∴F是的中点，BE＝CE，∠OEC＝90°， ∴∠COF＝2∠BAF． ∵∠PCB＝2∠BAF， ∴∠PCB＝∠COF． ∵∠OCE+∠COF＝180°﹣∠OEC＝90°， ∴∠OCE+∠PCB＝90°． ∴OC⊥PC． ∵点C在⊙O上， ∴直线PC是⊙O的切线． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2． ∴BE＝CE＝1． 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝， ∴． 设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝3﹣r． 在Rt△OCE中，∠OEC＝90°， ∴OC2＝OE2+CE2． ∴r2＝（3﹣r）2+1． 解得， ∵∠COE＝∠PCE，∠OEC＝∠CEP＝90°． ∴△OCE∽△CPE， ∴． ∴． ∴． 【点评】此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22．（5分）阅读下面材料： 小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值． 请回答： （1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB； （2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC＝　　；tan∠AOD＝　5　； 解决问题： 如图3，计算：tan∠AOD＝　　． 【分析】（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置； （2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值； （3）如图，连接AE、BF，则AF＝，AB＝，由△AOE∽△BOF，可以求出AO＝，在Rt△AOF中，可以求出OF＝，故可求得tan∠AOD． 【解答】解：（1）如图所示： 线段CD即为所求． （2）如图2所示连接AC、DB、AD． ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝2． ∵CD⊥AE， ∴DF＝AF＝． ∵AC∥BD， ∴△ACO∽△DBO． ∴CO：DO＝2：3． ∴CO＝． ∴DO＝． ∴OF＝． tan∠AOD＝． （3）如图3所示： 根据图形可知：BF＝2，AE＝5． 由勾股定理可知：AF＝＝，AB＝＝． ∵FB∥AE， ∴△AOE∽△BOF． ∴AO：OB＝AE：FB＝5：2． ∴AO＝． 在Rt△AOF中，OF＝＝． ∴tan∠AOD＝． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键． 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）． （1）求代数式mn的值； （2）若二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值； （3）若反比例函数y＝的图象与二次函数y＝a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围． 【分析】（1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题； （2）将点B的坐标代入y＝（x﹣1）2得到n＝m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题； （3）可先求出直线y＝x与反比例函数y＝交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，4）、B（m，n）， ∴k＝mn＝1×4＝4， 即代数式mn的值为4； （2）∵二次函数y＝（x﹣1）2的图象经过点B， ∴n＝（m﹣1）2＝m2﹣2m+1， ∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n＝m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n ＝mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n ＝4n+2×4﹣4n ＝8， 即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8； （3）设直线y＝x与反比例函数y＝交点分别为C、D， 解，得： 或， ∴点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）． ①若a＞0，如图1， 当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点D时， 有a（2﹣1）2＝2， 解得：a＝2． ∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小， ∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2； ②若a＜0，如图2， 当抛物线y＝a（x﹣1）2经过点C时， 有a（﹣2﹣1）2＝﹣2， 解得：a＝﹣． ∵|a|越大，抛物线y＝a（x﹣1）2的开口越小， ∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣． 综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 24．（7分）如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α． （1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系； （2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF． ①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长； ②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可； （2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE＝BC，∠AED＝∠BCD．求出∠AFE＝45°，解直角三角形求出即可； ②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM＝∠FEM＝，AM＝FM，解直角三角形求出FM即可． 【解答】解：（1）AD+DE＝4， 理由是：如图1， ∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE， ∴AD+DE＝BC＝4； （2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE， 交BC于点G， ∵∠ADB＝∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， 在△ADE与△BDC中， ， ∴△ADE≌△BDC， ∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD． ∵DE与BC相交于点H， ∴∠GHE＝∠DHC， ∴∠EGH＝∠EDC＝90°， ∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF， ∴EF＝CB＝4，EF∥CB， ∴AE＝EF， ∵CB∥EF， ∴∠AEF＝∠EGH＝90°， ∵AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝45°， ∴AF＝＝4； ②如图2，过E作EM⊥AF于M， ∵由①知：AE＝EF＝BC， ∴∠AEM＝∠FEM＝，AM＝FM， ∴AF＝2FM＝EF×sin＝8sin． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大． 25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S＝mn为图形W的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m＝2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n＝2．则图形W的测度面积S＝mn＝4 （1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA＝OB＝1． ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S＝　1　； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S＝　1　； （2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为　2　； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 【分析】（1）由测度面积的定义利用它的测度面积S＝|OA|•|OB|求解即可； ②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S＝|AB|•|OC|求解即可； （2）先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S＝|AC|•|BD|求解． （3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可． 【解答】解：（1）①如图3， ∵OA＝OB＝1，点A，B在坐标轴上， ∴它的测度面积S＝|OA|•|OB|＝1