2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（　　） A．2：3 B．4：9 C．4：5 D． 7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．cm B．cm C．64 cm D．54cm 8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为　 　． 10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为　 　． 11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为　 　． 12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是　 　． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为　 　． 14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式　 　． 15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是　 　． 16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为　 　． 三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分） 17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0． 18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长． 19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值． 20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … （1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是　 　； A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝ （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为　 　米． 21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ③连接并延长BA与⊙A交于点C； ④作直线PC； 则直线PC即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（　 　）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（　 　）（填推理的依据）． 22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长． 参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33． 23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）． （1）求k的值； （2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）． ①若m＝1，求b的值； ②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值． 24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm． 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格： x/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 y/cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 　 　 1.66 0 （2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为　 　cm． 25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F． （1）求证：PC＝PF； （2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的长． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）． （1）当a＝1时， ①求抛物线G与x轴的交点坐标； ②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围； （2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围． 27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD． （1）如图1， ①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上． ②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为　 　． （2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD； （3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示． （1）图1中点C的坐标为　 　； （2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的　 　坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为　 　； （3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形． ①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”　 　（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例； ②⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若a＝4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围 2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1） 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记． 2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可． 【解答】解： 过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°， ∴四边形MONP是矩形， ∴PM＝ON，PN＝OM， ∵P（4，3）， ∴ON＝PM＝4，PN＝3， ∴tanα＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键． 3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】把a＝1，b＝﹣1，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0， 所以方程没有实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C， ∴BC与B'C是对应边， ∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键． 5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|． 【解答】解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴矩形OABC的面积S＝|k|＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|． 6．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（　　） A．2：3 B．4：9 C．4：5 D． 【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．cm B．cm C．64 cm D．54cm 【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则 Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm）， 同理可得，BF＝27cm， 又∵点A与B之间的距离为10cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定． 【解答】解：由图象可知： 抛物线y1的顶点为（﹣2，﹣2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1＝（x+2）2﹣2； 抛物线y2的顶点为（0，﹣1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2＝x2﹣1； 抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3＝（x﹣1）2+1； 抛物线y4的顶点为（1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣1），根据待定系数法求得y4＝2（x﹣1）2﹣3； 综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为　x1＝0，x2＝3　． 【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解． 【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0， 解得，x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为　π　． 【分析】根据扇形面积公式求出即可． 【解答】解：扇形的面积是＝π， 故答案为π． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为　2　． 【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程． 【解答】解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线＝2． 即n的值为2． 故答案为2． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是　k＞0　． 【分析】联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【解答】解：联立两解析式得：， 消去y得：x2﹣k＝0， ∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点， ∴△＝b2﹣4ac＝4k＞0，即k＞0． 故k的取值范围是k＞0． 故答案为：k＞0． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为　（1，2）　． 【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算． 【解答】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0）， ∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'， ∵点A的坐标为（2，4）， ∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2）， 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式　y＝﹣，答案不唯一　． 【分析】先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可． 【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2， ∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0． 故答案为：y＝﹣，答案不唯一． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号． 15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是　点M与点N　． 【分析】分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点． 【解答】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆， 可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N， 故答案为：点M与点N． 【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径． 16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为　　． 【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值． 【解答】解：连接PQ、OP，如图， ∵直线OQ切⊙P于点Q， ∴PQ⊥OQ， 在Rt△OPQ中，OQ＝＝， 当OP最小时，OQ最小， 当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2， ∴OQ的最小值为＝． 故答案为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理． 三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分） 17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长． 【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴＝，即＝， ∴AB＝6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值． 【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可． 【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5， 代入已知等式得：5+m＝6， 解得：m＝1． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x（单位：度） … 100 250 400 500 … y（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … （1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是　B　； A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝ （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为　　米． 【分析】（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解； （2）将x＝200代入（1）中的解析式，求出y即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100， 所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例， 所以y关于x的函数关系式是y＝． 故选：B． （2）将x＝200代入y＝， 得y＝＝． 故答案为． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键． 21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图2， ①作射线OP； ②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ③连接并延长BA与⊙A交于点C； ④作直线PC； 则直线PC即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（　圆周角定理　）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（　切线的判定　）（填推理的依据）． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC＝90°（圆周角定理）， ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（切线的判定）． 故答案为：圆周角定理，切线的判定． 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长． 参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33． 【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可． 【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米， 在Rt△PAD中，tan∠DPA＝， 即tan18°＝， ∴y＝0.33x， 在Rt△PDB中，tan∠DPB＝， 即tan53°＝， ∴y+5.6＝1.33x， ∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6， 答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）． （1）求k的值； （2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B（b，0）． ①若m＝1，求b的值； ②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值． 【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值； （2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）， ∴a＝×2＝1， ∴A（2，1）， ∴k＝2×1＝2； （2）①若m＝1，则P（1，n）， ∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点， ∴n＝k＝2， ∴P（1，2）， ∵A（2，1）， 则直线PA的解析式为y＝﹣x+3， ∵直线PA与x轴交于点B（b，0）， ∴0＝﹣b+3， ∴b＝3； ②如图1，当P在第一象限时， ∵PB＝2AB，A（2，1）， ∴P点的纵坐标时2， 代入y＝求得x＝1， ∴P（1，2）， 由①可知，此时b＝3； 如图2，当P在第，三象限时， ∵PB＝2AB，A（2，1）， ∴P点的纵坐标时﹣2， 代入y＝求得x＝﹣1， ∴P（﹣1，﹣2）， ∵A（2，1） 则直线PA的解析式为y＝x﹣1， ∴b＝1， 综上，b的值为3或1． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm． 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格： x/cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 y/cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 　2.41　 1.66 0 （2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为　1.38或4.62　cm． 【分析】（1）描出图象后，测量x＝4时，y的值，即可求解； （2）描点即可； （3）当BD＝AC时，即：y＝2，即图中点A、B的位置，即可求解． 【解答】解：（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一）， 故答案是2.41； （2）图象如下图所示： 当x＝4时，测量得：y＝2.41； （3）当BD＝AC时，y＝2， 即图中点A、B的位置， 从图中测量可得：xA＝1.38，xB＝4.62， 故：答案为：1.38或4.62（本题答案不唯一）． 【点评】本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度． 25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F． （1）求证：PC＝PF； （2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的长． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF； （2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2． 【解答】解：（1）连接OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵OE⊥AB， ∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°， ∴∠EFA＝∠FCP， ∵∠EFA＝∠CFP， ∴∠CFP＝∠FCP， ∴PC＝PF； （2）过点B作BG⊥PC于点G， ∵OB∥PC， ∴∠COB＝90°， ∵OB＝OC，BC＝3， ∴OB＝3， ∵BG⊥PC， ∴四边形OBGC是正方形， ∴OB＝CG＝BG＝3， ∵tanP＝， ∴， ∴PG＝4， ∴由勾股定理可知：PB＝5， ∵PF＝PC＝7， ∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）． （1）当a＝1时， ①求抛物线G与x轴的交点坐标； ②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围； （2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解； ②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，即可求解； （2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即可求解． 【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x， 令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2， 即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）； ②抛物线G与线段AN只有一个交点， 则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1， 4n2﹣8n＜0，解得：0＜n＜2， 故：0≤n＜2； （2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点， 则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0， 即：，解得：， 即：n的取值范围为：n≤﹣3或n≥1． 【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大． 27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD． （1）如图1， ①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上． ②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为　α　． （2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD； （3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值． 【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD＝AC＝AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上； ②由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度数； （2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD； （3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值． 【解答】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴AD＝AC，且AB＝AC， ∴AD＝AB＝AC， ∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上 ②∵AD＝AB＝AC ∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD， ∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD， ∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC， ∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α ∴∠BDC＝ 故答案为：α （2）如图2，连接CE， ∵∠BAC＝60°，AB＝AC ∴△ABC是等边三角形 ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵∠BDC＝ ∴∠BDC＝30°， ∵BD⊥DE， ∴∠CDE＝60°， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴DE＝CE，且∠CDE＝60° ∴△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴BD＝AE， （3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF， ∵在△BOF中，BO+OF≥BC ∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长， 如图，过点O作OH⊥BC， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC， ∴∠COH＝∠HCO＝45°， ∴OH＝HC， ∴OC＝HC， ∵点O是AC中点， ∴AC＝2HC， ∴BC＝4HC， ∴BH＝BC﹣HC＝3HC ∴tan∠FBC＝＝ 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方