第4节　二次函数的图象与性质.doc

第4节　二次函数的图象与性质 课时1　二次函数图象与性质、抛物线与系数a、b、c的关系 (建议答题时间：20分钟) 1. (2017长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　) A. (3，4) B. (－3，4) C. (3，－4) D. (2，4) 2. (2017金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是(　　) A. 对称轴是直线x＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x＝－1，最大值是2 3. (2017连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(　　) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 4. (人教九上41页第6题改编)对于二次函数y＝－3x2－12x－3，下面说法错误的是(　　) A. 抛物线的对称轴是x＝－2 B. x＝－2时，函数存在最大值9 C. 当x＞－2时，y随x增大而减小 D. 抛物线与x轴没有交点 5. (2017眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax(　　) A. 有最大值 B. 有最大值－ C. 有最小值 D. 有最小值－ 6. (2017广州)a≠0，函数y＝与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 7. (2017重庆巴蜀月考)已知二次函数y＝a2x＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是(　　) A. abc＞0 B. b＝2a C. a＋c＞ D. 4a＋2b＋c＞0 第7题图 第9题图 第11题图 8. (2017乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是(　　) A. B. C. 或 D. －或 9. (2017日照)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是(　　) A. ①②③ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤ 10. (2017广州)当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________． 11. (2017兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为________． 课时2　抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系 (建议答题时间：20分钟) 1. (2017重庆南开模拟)将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为(　　) A. y＝(x－3)2－1　　　　B. y＝(x＋1)2＋5 C. y＝(x＋1)2－1 D. y＝(x－3)2＋5 2. (2017徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　) A. b＜1且b≠0 B. b＞1 C. 0＜b＜1 D. b＜1 3. (2017苏州)二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为(　　) A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝－2，x2＝6 C. x1＝，x2＝ D. x1＝－4，x2＝0 4. (2017绵阳)将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(　　) A. b＞8　 B. b＞－8　 C. b≥8 　 D. b≥－8 5. (2017天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为(　　) A. y＝x2＋2x＋1 B. y＝x2＋2x－1 C. y＝x2－2x＋1 D. y＝x2－2x－1 6. (2017随州)对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是(　　) A. 它的图象与x轴有两个交点 B. 方程x2－2mx＝3的两根之积为－3 C. 它的图象的对称轴在y轴的右侧 D. x＜m时，y随x的增大而减小 7. (2018原创)在－2，－1，0，1，2五个数字中，任取一个作为a，使不等式组无解，且函数y＝ax2＋(a＋2)x＋a＋1的图象与x轴只有一个交点，那么a的值为(　　) A. 0 B. 0或－2 C. 2或－2 D. 0，2或－2 8. (2017青岛)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________． 9. (2017上海)已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是________．(只需写一个) 10. (2017武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是________． 11. (2017鄂州)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是________． 12. (2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0. (1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式； (2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； (3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围． 答案 第1课时　二次函数图象与性质，抛物线与系数a、b、c的关系 1. A　2. B　 3. C　【解析】画出抛物线y＝ax2(a＞0)的草图如解图，根据图象可知，y1＞0，y2＞0，且y1＞y2. 第3题解图 4. D　【解析】由y＝－3x2－12x－3＝－3(x＋2)2＋9，可知对称轴是x＝－2，选项A正确；抛物线的开口向下，顶点坐标是(－2，9)，当x＝－2时，y存在最大值9，选项B正确；开口向下，当x＞－2时，图象处于对称轴的右边，y随x增大而减小，选项C正确；当y＝0时，一元二次方程－3x2－12x－3＝0有实数解，所以抛物线与x轴有交点，选项D错误． 5. B　【解析】∵一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，∴，解得－1＜a＜0，∵二次函数y＝ax2－ax＝a(x－)2－，又∵－1＜a＜0，∴二次函数y＝ax2－ax有最大值，且最大值为－. 6. D　【解析】如果a＞0，则反比例函数y＝图象在第一、三象限，二次函数y＝－ax2＋a图象开口向下，排除A；二次函数图象与y轴交点(0，a)在y轴正半轴，排除B；如果a＜0，则反比例函数y＝图象在第二、四象限，二次函数y＝－ax2＋a图象开口向上，排除C；故选D. 7. D　【解析】观察函数图象，抛物线开口向下，则a＜0.对称轴在y轴右边，则a、b异号，∴b＞0.抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，∴abc＜0，选项A错误；由抛物线的对称轴x＝－＝1，∴b＝－2a，选项B错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，选项C错误；根据对称性可知，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，选项D正确． 8. D　【解析】因为二次函数的对称轴为x＝m，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究x的范围与对称轴的位置关系，①当m≥2时，此时－1≤x≤2落在对称轴的左边，当x＝2时y取得最小值－2，即－2＝22－2m×2，解得m＝＜2(舍)；②当－1<m<2时，此时在对称轴x＝m处取得最小值－2，即－2＝m2－2m·m，解得m＝－或m＝，又－1<m<2，故m＝；③当m≤－1时，此时－1≤x≤2落在对称轴的右边，当x＝－1时y取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m×(－1)，解得m＝－，综上所述，m＝－或. 9. C　【解析】∵抛物线与x轴交于(4，0)，对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点为(0，0)．故①正确；∵抛物线经过原点，∴c＝0.∵抛物线的对称轴为x＝2，即－＝2，∴4a＋b＝0，∴4a＋b＋c＝0，故②正确；当x＝－1时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴a(－1)2＋(－1)b＋c>0，即a－b＋c>0，故③错误；∵c＝0，4a＋b＝0，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＝－(x－2)2＋b，∴抛物线的顶点坐标为(2，b)，故④正确；由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为x＝2，当x<2时，y随x的增大而减小．故⑤错误．综上所述，①②④正确． 10. 1，5　　11.(－2，0) 第2课时　抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系 1. C　2. A 3. A　【解析】∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得a(－2)2＋1＝0，解得a＝－，∴所求方程为－(x－2)2＋1＝0，解方程得x1＝0，x2＝4. 4. D　【解析】将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数为y＝(x－3)2－1，与一次函数联立得，整理得x2－8x＋8－b＝0，∵两个函数图象有公共点，∴方程x2－8x＋8－b＝0有解，则(－8)2－4(8－b)≥0，解得b≥－8. 5. A　【解析】∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，即x2－4x＋3＝0，解得，x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴M(2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x轴上，需将图象向上平移1个单位，要使点B平移后的对应点落在y轴上，需向左平移3个单位，∴M′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y＝(x＋1)2，即y＝x2＋2x＋1. 6. C　【解析】∵Δ＝(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12＞0，∴图象与x轴有两个交点，A正确；令y＝0得：x2－2mx－3＝0，方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标，由A知图象与x轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为＝＝－3，B正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x＝－＝－＝m，∵m的值不能确定，故对称轴是否在y轴的右侧不能确定，C错误；∵a＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y随x的增大而减小，由C知抛物线对称轴为x＝m，∴当x＜m时，y随x的增大而减小，D正确，故选C. 7. B　【解析】解不等式x＋a≥0得x≥－a，解不等式1－x>x＋2得x＜－，因为不等式组无解，故－a≥－，解得a≤；当a≠0时，b2－4ac＝(a＋2)2－4a(a＋1)＝0，解得a＝2或－2，当a＝0时，函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当a＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点，但a≤，∴a＝0或－2. 8. m>9　9. y＝x2－1(答案不唯一) 10. ＜a＜或3＜a＜－2　【解析】令y＝0，即ax2＋(a2－1)x－a＝0，(ax－1)(x＋a)＝0，∴关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的交点为(，0)和(－a，0)，即m＝或m＝－a，又∵2＜m＜3，则＜a＜或－3＜a＜－2. 11. 2≤m≤8　【解析】∵将抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－m，由平移后抛物线与正方形ABCD的边有交点，则当点B在抛物线上时，m取最小值，此时(1＋1)2－m＝2，解得m＝2，当点D在抛物线上时，m取最大值，此时(2＋1)2－m＝1，解得m＝8，综上所述，m的取值范围是2≤m≤8. 12. 解：(1)由题意知(1＋a)(1－a－1)＝－2， 即a(a＋1)＝2， ∵y1＝x2－x－a(a＋1)， ∴y1＝x2－x－2； (2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)，当y2的图象过点(－a，0)时，得－a2＋b＝0；当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0； (3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝，所以点Q(1，n)与点(0，n)关于直线x＝对称．因为函数y1的图象开口向上，所以当m＜n时，0＜x0＜1.