第35课时 解直角三角形.doc

第35课时 解直角三角形 (60分) 图35－1 一、选择题(每题6分，共24分) 1．[2015·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为 (C) A. m B．30sinα m C．30tanα m D．30cosα m 图35－2 2．[2015·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是 (C) A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里 【解析】　根据余弦函数定义“cosA＝”得AB＝PA×cosA＝2cos55°.故选C. 图35－3 3．[2015·济宁]如图35－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为 (A) A．5 m B．6 m C．8 m D．(3＋)m 【解析】　设CD＝x，则AD＝2x， 由勾股定理可得，AC＝x，∵AC＝3 m，∴x＝3， ∴x＝3 m，∴CD＝3 m，∴AD＝2×3＝6 m， 在Rt△ABD中，BD＝8 m，∴BC＝8－3＝5 m. 图35－4 4．[2015·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为 (C) A．50 B．51 C．50＋1 D．101 【解析】　由矩形CDFE，得DF＝CE＝100 m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝1 m，因为∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝100 m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝×100＝50 m，所以AB＝50＋1.故选C. 二、填空题(每题6分，共18分) 图35－51 5．[2015·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000 m，则他实际上升了__1__000__m. 第5题答图 【解析】　图35－5过点B作BC⊥水平面于点C， 在Rt△ABC中， ∵AB＝2 000 m，∠A＝30°， ∴BC＝AB·sin30°＝2 000×＝1 000(m)． 图35－6 6．[2015·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是__9＋3__m．(结果保留根号) 【解析】　在Rt△ACD中， ∵tan∠ACD＝， ∴tan30°＝， ∴AD＝3 m， 在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9 m， ∴AB＝AD＋BD＝3＋9(m)． 图35－7 7．[2015·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m. 【解析】　∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°， 在Rt△ABD中，tan30°＝， ∴＝，∴AD＝45， ∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°， ∴在Rt△ACD中， CD＝AD·tan60°＝45×＝135(m)． 三、解答题(共20分) 8．(10分)[2015·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕头上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．现调节靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数) (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70) 图35－8 　　　 第8题答图 解：如答图，过点A′作A′B⊥AO，交AO于B点，在Rt△A′BO中 cos35°＝，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66， ∴AB＝80－66＝14 cm， 答：降低了14 cm. 9．(10分)[2015·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10 m到点D，再次测得点A的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m．参考数据：≈1.414，≈1.732) 图35－9 解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10 m， 设CB＝x，则AB＝x，DB＝x， ∵DC＝10 m， ∴x＝x＋10， ∴(－1)x＝10， 解得x＝＝5＋5≈5×1.732＋5≈13.7. 答：树高为13.7 m. (24分) 10．(12分)[2015·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 图35－10 解：在直角△ADB中， ∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200 m， ∴BD＝AB＝100 m， 在直角△CEB中， ∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200 m， ∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134 m， ∴BD＋CE≈100＋134＝234 m. 答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m. 11．(12分)[2015·泰州]如图35－11，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1∶2，顶部A处的高AC为4 m，B，C在同一水平地面上． (1)求斜坡AB的水平宽度BC； (2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5 m，EF＝2 m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5 m时，求点D离地面的高．(参考数据：≈2.236，结果精确到0.1 m) 图35－11 　　　 第11题答图 解：(1)∵坡度为i＝1∶2，AC＝4 m， ∴BC＝4×2＝8 m； (2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H. ∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS， ∴∠GDH＝∠SBH， ∴＝， ∵DG＝EF＝2 m，∴GH＝1 m， ∴DH＝ m，BH＝BF＋FH＝3.5＋(2.5－1)＝5 m， 设HS＝x m，则BS＝2x m， ∴x2＋(2x)2＝52，∴x＝ m， ∴DS＝＋＝2≈4.5 m. ∴点D离地面的高为4.5 m. (14分) 图35－12 12．(14分)[2014·泸州]如图35－12，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继 续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 第12题答图 解：如答图，作CE⊥AB于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°. ∵∠FCE＝90°，∠ACE＝45°， ∴四边形AFCE是正方形． 设AF＝FC＝CE＝AE＝x，则FD＝x＋30， ∵tanD＝，∠AFD＝90°，∠D＝30°， ∴＝，解得x＝15＋15， ∴AE＝CE＝15＋15. ∵tan∠BCE＝，∠CEB＝90°，∠BCE＝30°， ∴＝，解得BE＝15＋5. ∴AB＝AE＋BE＝15＋15＋15＋5＝20＋30. ∴A，B间的距离为(20＋30)海里．