2017中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题201707071109.doc

§1．7 因动点产生的线段和差问题 课前导学 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短”． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图1 图2 图3 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”． 如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊． 第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ． 第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH． 这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的． 图4 图5 图6 例 50 2014年湖南省郴州市中考第26题 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标； （3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG的周长最小． 思路点拨 1．设交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和． 3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标． 图文解析 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－2)． 代入点C(0, 2)，可得a＝－1． 所以这条抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2． （2）如图3，连结OP．设点P的坐标为(x,－x2＋x＋2)． 由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2， 所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4． 因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P(1, 2)． （3）第一步，几何说理，确定点G的位置： 如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小． 由于GA＝GC，因此当GA＋GM最小时，GC＋GM最小． 当点G落在AM上时，GA＋GM最小（如图5）． 图3 图4 图5 第二步，代数计算，求解点G的坐标： 如图6，，cos∠CAO＝，所以，E． 如图7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M． 由A(－1, 0)、M，得直线AM的解析式为． 作GH⊥x轴于H．设点G的坐标为． 由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH． 所以．解得．所以G． 图6 图7 图8 考点伸展 第（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）． 因为△ABC的面积是定值，因此当△PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大． 过点P作x轴的垂线，交CB于F． 因为△PCF与△PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，△PCB的面积最大． 设点P(x,－x2＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x． 当x＝1时，PF最大．此时P(1, 2)． 例 51 2014年湖南省湘西州中考第25题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C(－3,－3)均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）设点D(x, y)是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？ （3）若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为S，过点P作PN⊥l，垂足为N，试判断△FNS的形状，并说明理由； （4）若点A(－2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MF＋MA的值最小．请直接写出此时点M的坐标与MF＋MA的最小值． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大．点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，△FNS保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，ME＋MA最小． 思路点拨 1．第（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数． 2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离． 3．第（4）题要经过两步说理，得到MF＋MA的最小值是点A到l的垂线段长． 图文解析 （1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y＝ax2． 代入点C(－3,－3)，得．所以抛物线的解析式为． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得 解得，b＝－2．所以直线BC的解析式为． （2）由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G． 所以h＝GD＝＝． 因此当时，h取得最大值，最大值为． （3）如图2，设点为H．设直线PQ的解析式为． 联立直线PQ：与抛物线，消去y，得． 所以x1·x2＝．它的几何意义是HS·HN＝． 又因为HF＝．所以HF2＝HS·HN．所以． 所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2． 又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS是直角三角形． （4）MF＋MA的最小值是，此时点M的坐标是． 图2 图3 图4 考点伸展 第（3）题也可以通过计算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC＝90°． 应用这个结论，就容易解答第（4）题： 如图3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME． 当ME＋MA的值最小时，MF＋MA的值也最小． 当A、M、E三点共线时，ME＋MA的值最小，最小值为AE． 而AE的最小值为点A到l的垂线段，即AE⊥l时，AE最小（如图4）．