应用二元一次方程组(提高)知识讲解.doc

馨雅资源网 应用二元一次方程组（提高）知识讲解 责编：赵炜 【学习目标】 1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型； 2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题. 【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.增收节支问题： （1）增长（递减）率公式： 原来的量×（1+增长率）=后来的量； 原来的量×（1-递减率）=后来的量； （2）利润公式： 利润=总收入-总支出 ；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 ；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)  （3）银行利率公式： 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×. 要点诠释： 　 增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充分突出解题过程． 3.行程问题： 　速度×时间=路程. 　顺水速度=静水速度+水流速度. 　逆水速度=静水速度-水流速度. 4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、鸡兔同笼问题 1. 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售． （1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？ （2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由． 【思路点拨】此题的关键是要弄清楚这20人分别是每人各买几支A型和B型毛笔，然后再根据超出后价格的不同来列方程． 【答案与解析】 解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，则根据题意得： 解得： 答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元. （2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元 则m=20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）=1.6a+8 如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元． 则n=a×2×90%=1.8a 于是n﹣m=1.8a﹣（1.6a+8）=0.2a﹣8 ∵a＞40， ∴0.2a＞8， ∴n﹣m＞0 可见，当a＞40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多． 答：用原来的方法购买花钱少． 【总结升华】在第二问中要算出两种方案各是多少才能确定购买方案，但同学们往往忽略题中所给条件a＞40，在这个范围内比较两种方案的价格，那么可以采用作差法比较，从而得出答案. 举一反三： 【变式】《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？” 【答案】 解：设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得： 解方程组得： 答：每只雀、燕的重量各为两和两. 类型二、增收节支问题 2. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68 个，扁担40 根，问这个班的男女生各有多少人？ 【答案与解析】 解：设女生人，男生人，由题意得： 解得： 答：这个班的男生有32人，女生有21人. 【总结升华】两人抬土需要一根扁担，一只筐；一人挑土需要一根扁担，两只筐．题中的等量关系是：参加劳动的同学一共用去箩筐68个和40根扁担，从而列出方程组，解出即可． 举一反三： 【变式】为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25%． (1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台? (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元？ 【答案】 解：(1)设政策出台前一个月销售的手动型汽车为x辆，自动型汽车为y辆， 由题意可得： 解之得：． 答：政策出台前一个月销售的手动型汽车为560辆，自动型汽车为400辆． (2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(万元) 答：政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了516.2万元． 3.（2015•黄冈）已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 【思路点拨】 设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得等量关系： ①成本共500元；②共获利130元，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【答案与解析】 解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得： ， 解得：， 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 【总结升华】主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 类型三、里程碑上的数（数字问题） 4.小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过一个小时，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过3小时，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，你知道小明爸爸骑摩托车的速度是多少吗？ 【思路点拨】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即第一次注意到路边里程碑上的数的十位数字+个位数字=9；由于是匀速行驶，可以根据3小时所行使的路程相等来列第二个等量关系． 【答案与解析】 解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得 解得， 即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为27，1小时后小明看到的程碑上的数字为72，72﹣27=45（千米/小时）， 答：小明爸爸骑摩托车的速度是45千米/小时． 举一反三： 【变式】一个三位数是一个两位数的5倍．如果把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，且后面的五位数比前面的五位数大18648，问：两位数、三位数各是多少？ 【答案】 解：设两位数是x，三位数是y,根据题意得: ， 解得:． 答：两位数、三位数各是37、185． 类型四、行程问题 5. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离. 【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离， 75×（规定时间－）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离． 【答案与解析】 解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得： 解得： 答：甲乙两地间的距离为140千米. 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词． 举一反三： 【变式】（2015•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费． 小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．” 小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．” 问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？ （2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？ 【答案】解：（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元． 依题意得，， 解得． 答：出租车的起步价是元，超过1.5千米后每千米收费2元； （2）+（5.5﹣1.5）×2=12.5（元）． 答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元． 学魁网