数学初二下期中_2021实验中学.doc

馨雅资源网 2021 实验学校八年级（下）段考数学试卷（4月份） 一、选择题：（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0 2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．1，1， C．8，12，13 D．，， 3．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（　　） A．15° B．25° C．35° D．65° 4．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 7．（3分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2 C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2 8．（3分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF 9．（3分）计算（3﹣）2020（+3）2021的值为（　　） A．1 B．+3 C．﹣3 D．3﹣ 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 二、填空题：（第11～17题每题2分，第18题3分，共17分） 11．（2分）若平行四边形中两个内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是　 　°． 12．（2分）▱ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝　 　cm，BC＝　 　cm． 13．（2分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　，b＝　 　． 14．（2分）若平行四边形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则此平行四边形的周长为　 　cm． 15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°，则BC的长为　 　． 16．（2分）印度数学家什迦罗（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？ 如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度OC的长是　 　尺． 17．（2分）如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为　 　． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2与x，y轴分别交于点A，B，在直线AB上截取BB1＝AB，过点B1分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2＝BB1，过点B2分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3＝B1B2，过点B3分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…；则点B1的坐标是　 　；第3个矩形OA3B3C3的面积是　 　；第n个矩形OAnBn∁n的面积是　 　（用含n的式子表示，n是正整数）． 三、解答题：（第19题16分，每小题16分；第20～24题共30分，每小题16分，第25题7分） 19．（16分）计算： （1）+﹣（+2）； （2）×÷； （3）÷2﹣6+； （4）×﹣（2﹣）（2+）+（﹣1）2． 20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是对角线AC上的两点，并且AE＝CF．求证：∠1＝∠2． 21．（6分）先化简，再求值． （6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长． 23．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 24．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD＝6，BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成两个三角形，在平面上把这两个三角形再拼成一个平行四边形，画出你所能拼出的所有平行四边形的示意图（标出图中直角），并在所画的每个图的下方直接写出较长的对角线的长． 25．（7分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++16．动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？ （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标． 四、附加题（第26题6分，第27题7分，第28题7分，共20分） 26．（6分）若要化简我们可以如下做： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： （1）＝　 　，（2）＝　 　 （3）＝　 　． 27．（7分）在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE． （1）如图1， ①∠BEC＝　 　°； ②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论； （2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝6，AH＝3，求NE的长． 28．（7分）直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切．如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交． （1）如图4，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝3，OB＝2，直线y＝x+2与矩形AOBC的关系为　 　． （2）在（1）的条件下，直线y＝x+2经过平移得到直线y＝x+b， 当直线y＝x+b，与矩形AOBC相离时，b的取值范围是　 　； 当直线y＝x+b，与矩形AOBC相交时，b的取值范围是　 　． （3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），当直线y＝x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时，利用图5求直线QN的函数表达式． 2020-2021学年北京师大附属实验学校八年级（下）段考数学试卷（4月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：（每题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0 【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解． 【解答】解：依题意得x﹣1≥0， ∴x≥1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题． 2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．1，1， C．8，12，13 D．，， 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：A．∵62+82＝102， ∴以6、8、10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵12+12＝（）2， ∴以1、1、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵82+122≠132， ∴以8、12、13为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵（）2+（）2＝（）2， ∴以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（　　） A．15° B．25° C．35° D．65° 【分析】由在▱ABCD中，∠B＝65°，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠D的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65°， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝90°﹣∠D＝25°． 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A、＝3，故本选项错误； B、＝5，故本选项错误； C、＝＝，故本选项错误； D、＝×＝6，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力． 5．（3分）小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【解答】解：∵O是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可． 【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DE∥AC，EF∥AB， DE＝AC＝5，EF＝AB＝3， ∴四边形ADEF平行四边形， ∴AD＝EF，DE＝AF， ∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）＝16， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键． 7．（3分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2 C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2， ∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm， ∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm， ∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16， ＝8+16﹣12﹣16， ＝（﹣12+8）cm2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF 【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC． 又∵DE＝AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确； （B）∵∠ADF不一定等于30°， ∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误； （C）由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD， 由矩形ABCD，可得AB＝CD， ∴AB＝AF，故（C）正确； （D）由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF， 由矩形ABCD，可得BC＝AD， 又∵BE＝BC﹣EC， ∴BE＝AD﹣DF，故（D）正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 9．（3分）计算（3﹣）2020（+3）2021的值为（　　） A．1 B．+3 C．﹣3 D．3﹣ 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方得到原式＝[（3﹣）（3+）]2020•（3+），然后利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝[（3﹣）（3+）]2020•（3+） ＝（9﹣10）2020•（3+） ＝3+． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】首先根据已知得出DE最小时D，E的位置，进而利用三角形面积求出CF的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AN⊥CB于点N， 过点C作CF⊥AB于点F，当ED⊥AB于点D时，此时DE最小， ∵AB＝AC＝8，BC＝4，AN⊥CB， ∴NB＝CN＝2， ∴AN＝＝2， ∵S△ABC＝AN×BC＝CF×AB， ∴CF＝＝， ∵四边形CDBE是平行四边形，CF⊥AB，ED⊥AB， ∴CF＝DE＝． 即DE的最小值为：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出D，E的位置是解题关键． 二、填空题：（第11～17题每题2分，第18题3分，共17分） 11．（2分）若平行四边形中两个内角的度数比为2：3，则其中较小的内角是　72　°． 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，推出∠A+∠B＝180°，设∠A＝3x，∠B＝2x，代入求出即可． 【解答】解：设∠A＝3x，∠B＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴2x+3x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠B＝2×36°＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题主要考查对平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B＝180°是解此题的关键． 12．（2分）▱ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝　20　cm，BC＝　10　cm． 【分析】通过平行四边形对角线互相平分，对边相等求解．△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，即AB比BC多10cm． 【解答】解：如图， ∵▱ABCD的周长为60cm， ∴AB+BC＝30cm． ∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，即AB比BC多10cm， ∴AB﹣BC＝10cm． ∴AB＝20cm，BC＝20cm． 故答案为：20，10． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形对边相等，对角线互相平分． 13．（2分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　1　，b＝　1　． 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程组求解即可． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 14．（2分）若平行四边形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则此平行四边形的周长为　20或22　cm． 【分析】通过画图，平行四边形的性质进行解析． 【解答】解：如图， ∵DG∥EF， ∴∠GDH＝∠DHE． ∵DH平分∠GDE， ∴∠GDH＝∠EDH， ∴∠EDH＝∠DHE，即DE＝EH． 当DE＝EH＝3cm，HF＝4cm时，平行四边形的周长为20cm． 当DE＝EH＝4m，HF＝3cm时，平行四边形的周长为22cm． 故答案为：20或22． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是通过画图讨论不同情况的解． 15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°，则BC的长为　21　． 【分析】根据勾股定理求得BC的长； 【解答】解：∵AB＝15，AC＝9，AD⊥BC于D，∠ACB＝45°， ∴CD＝AD＝， ∴BD＝， ∴BC＝9+12＝21， 故答案为：21． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出CD，BD的长． 16．（2分）印度数学家什迦罗（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？ 如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度OC的长是　3.75　尺． 【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解． 【解答】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得：（x+0.5）2＝x2+4 解得：x＝3.75． 答：湖水深3.75尺． 故答案为：3.75． 【点评】本题考点：勾股定理的应用．根据已知条件得出直角三角形各边的长度，然后应用勾股定理即可求出湖水的深度． 17．（2分）如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为　　． 【分析】在直角△ABC中利用勾股定理求得AC的长，在AP、CP的长度可以得到，然后证明△APN∽△ABC，利用相似三角形的对应边的比相等求得PN的长，在直角△PCN中利用勾股定理求得CN的长． 【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝＝5， 则AP＝CP＝2.5． ∵在△APN和△ABC中，∠PAN＝∠BAC，∠APN＝∠B＝90°， ∴△APN∽△ABC， ∴＝，即＝， ∴PN＝， 在直角△PCN中，CN＝＝＝． 故答案是：． 【点评】本题考查了图形的折叠，以及勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确求得PN的长度是关键． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2与x，y轴分别交于点A，B，在直线AB上截取BB1＝AB，过点B1分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A1、C1，得到矩形OA1B1C1；在直线AB上截取B1B2＝BB1，过点B2分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A2、C2，得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3＝B1B2，过点B3分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A3、C3，得到矩形OA3B3C3；…；则点B1的坐标是　（2，4）　；第3个矩形OA3B3C3的面积是　48　；第n个矩形OAnBn∁n的面积是　4n2+4n　（用含n的式子表示，n是正整数）． 【分析】先求出A、B两点的坐标，再设B1（a，a+2），B2（b，b+2），B3（c，c+2），再求出a、b、c的值，利用矩形的面积公式得出其面积，找出规律即可． 【解答】解：∵一次函数y＝x+2与x、y 轴分别交于点A、B， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， ∴AB＝＝2． 设B1（a，a+2），B2（b，b+2），B3（c，c+2）， ∵BB1＝AB， ∴a2+（a+2﹣2）2＝（2）2，解得a1＝2，a2＝﹣2（舍去）， ∴B1（2，4）， 同理可得，B2（4，6），B3（6，8）， ∴第3个矩形OA3B3C3的面积＝6×8＝48， ∴第n个矩形OAnBn∁n的面积＝2n（2n+2）＝4n2+4n． 故答案为：（2，4），48，4n2+4n． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出B1，B2，B3的坐标，找出规律是解答此题的关键． 三、解答题：（第19题16分，每小题16分；第20～24题共30分，每小题16分，第25题7分） 19．（16分）计算： （1）+﹣（+2）； （2）×÷； （3）÷2﹣6+； （4）×﹣（2﹣）（2+）+（﹣1）2． 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则运算； （3）先计算二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可； （4）利用二次根式的乘法法则、平方差公式和完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝2+4﹣﹣2 ＝+2； （2）原式＝5××2 ＝ ＝20； （3）原式＝﹣2+ ＝2﹣2+ ＝； （4）原式＝﹣（12﹣2）+3﹣2+1 ＝2﹣10+4﹣2 ＝﹣6． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是对角线AC上的两点，并且AE＝CF．求证：∠1＝∠2． 【分析】连接BD，交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD．证出OE＝OF．得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：连接BD，交AC于O，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． 又∵AE＝CF， ∴OE＝OF． ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴DE∥BF， ∴∠1＝∠2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFDE是平行四边形是解决问题的关键． 21．（6分）先化简，再求值． （6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并得到原式＝﹣，最后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝6+3﹣4﹣6 ＝﹣， 当x＝，y＝3时，原式＝﹣＝﹣． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长． 【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可． （2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长． 【解答】（1）证明：∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC． 即 EF＝BC． ∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC， ∴AD∥EF且AD＝EF． ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°． ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE＝8， ∴AF＝DE＝8． ∵AB＝6，BF＝10， ∴AB2+AF2＝62+82＝100＝BF2． ∴∠BAF＝90°． ∵AE⊥BF， ∴△ABF的面积＝AB•AF＝BF•AE． ∴AE＝＝＝． 【点评】本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型． 23．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN＝AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM＝AC，由此即可证明． （2）首先证明∠BMN＝90°，根据BN2＝BM2+MN2即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，MN＝AD， 在Rt△ABC中，∵M是AC中点， ∴BM＝AC， ∵AC＝AD， ∴MN＝BM． （2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， 由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC， ∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°， ∵MN∥AD， ∴∠NMC＝∠DAC＝30°， ∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°， ∴BN2＝BM2+MN2， 由（1）可知MN＝BM＝AC＝1， ∴BN＝ 【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 24．（6分）已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD＝6，BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成两个三角形，在平面上把这两个三角形再拼成一个平行四边形，画出你所能拼出的所有平行四边形的示意图（标出图中直角），并在所画的每个图的下方直接写出较长的对角线的长． 【分析】根据题目要求作出图形即可． 【解答】解：如图，平行四边形即为所求作． 【点评】本题考查图形的拼剪，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．（7分）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝++16．动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？ （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标． 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可． （2）根据PB＝CQ，构建方程求解即可． （3）分两种情形：当PQ＝CQ时，当PQ＝PC时，分别构建方程求解即可． 【解答】解：（1）∵b＝++16， 又∵a﹣20≥0，20﹣a≥0， ∴a＝20， ∵AB∥OC，A（0，12）， ∴c＝12， ∴B（20，12），C（16，0）． （2）由题意得：AP＝2t，QO＝t， 则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t， ∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形， ∴20﹣2t＝16﹣t， 解得：t＝4. （3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB， 由题意得：122+t2＝（16﹣t）2， 解得：t＝， 故P（7，12），Q（3.5，0）， 当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴， 由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t， t＝16﹣2t， 解得：t＝， 2t＝， 故P（ ，12），Q（，0）． 综上所述：P（7，12）Q（3.5，0）或P（ ，12），Q（，0）． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 四、附加题（第26题6分，第27题7分，第28题7分，共20分） 26．（6分）若要化简我们可以如下做： ∵ ∴ 仿照上例化简下列各式： （1）＝　+1　，（2）＝　﹣　 （3）＝　2　． 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式开平方得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式开平方得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式开平方得出答案． 【解答】解：（1）＝＝； 故答案为：+1； （2）＝＝； 故答案为：﹣； （3）＝﹣＝． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 27．（7分）在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE． （1）如图1， ①∠BEC＝　45　°； ②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论； （2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝6，AH＝3，求NE的长． 【分析】（1）①利用矩形的性质可得出∠ABC＝90°，AB∥CD，由BE平分∠ABC交CD边于点E，利用角平分线的定义可得出∠ABE＝45°，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEC的度数； ②△ADE≌△ECF，由等角对等边可得出BC＝EC，结合AD＝BC可得出AD＝EC，由同角的余角相等可得出∠CEF＝∠DAE，结合∠C＝∠D＝90°即可证出△ADE≌△ECF（ASA）； （2）连接HB，由NH∥BE，NB∥HE可得出四边形HNBE是平行四边形，由△ADE≌△ECF可得出AE＝EF，DE＝CF，易证四边形HFCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出HD＝FC，结合DE＝CF可得出HD＝ED，进而可得出∠DEH＝45°，结合∠BEC＝45°可得出∠HEB＝90°，进而可得出平行四边形HNBE是矩形，利用矩形的性质可得出NE＝HB，再在Rt△ABH中，利用勾股定理可求出BH的长，结合NE＝HB可求出NE的长． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD＝BC． ∵BE平分∠ABC交CD边于点E， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠ABE＝45°． 故答案为：45． ②△ADE≌△ECF， 证明：∵∠CBE＝∠BEC＝45°， ∴BC＝EC， ∵AD＝BC， ∴AD＝EC． ∵FE⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠DEA+∠CEF＝90°， 又∵∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠CEF＝∠DAE． 在△ADE和△ECF中， ， ∴△ADE≌△ECF（ASA）． （2）在图2中，连接HB． ∵NH∥BE，NB∥HE， ∴四边形HNBE是平行四边形． ∵△ADE≌△ECF， ∴AE＝EF，DE＝CF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥FC，∠D＝90°． ∵FH∥CD， ∴四边形HFCD是平行四边形， ∴HD＝FC， ∴HD＝ED，∠D＝90°， ∴∠DEH＝45°． 又∵∠BEC＝45°， ∴∠HEB＝90°， ∴平行四边形HNBE是矩形， ∴NE＝HB． 在Rt△ABH中，BH＝＝3， ∴NE＝3． 【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）①利用角平分线的定义及平行线的性质，找出∠BEC的度数；②利用全等三角形的判定定理ASA，证出△ADE≌△ECF；（2）证出四边形HNBE是矩形． 28．（7分）直线与四边形的关系我们给出如下定义：如图1，当一条直线与一个四边形没有公共点时，我们称这条直线和这个四边形相离．如图2，当一条直线与一个四边形有唯一公共点时，我们称这条直线和这个四边形相切．如图3，当一条直线与一个四边形有两个公共点时，我们称这条直线和这个四边形相交． （1）如图4，矩形AOBC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝3，OB＝2，直线y＝x+2与矩形AOBC的关系为　相切　． （2）在（1）的条件下，直线y＝x+2经过平移得到直线y＝x+b， 当直线y＝x+b，与矩形AOBC相离时，b的取值范围是　b＜﹣3或b＞2　； 当直线y＝x+b，与矩形AOBC相交时，b的取值范围是　﹣3＜b＜2　． （3）已知P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1），当直线y＝x+2与四边形PQMN相切且线段QN最小时，利用图5求直线QN的函数表达式． 【分析】（1）由直线y＝x+2过点B且BC平行x轴，结合直线与四边形的关系即可得出结论； （2）依照题意画出图形．①根据图形求出相切时的b值，利用“比大的大，比小的小”即可得出结论；②根据相切时的b的值，取二者之间的数即是相交； （3）根据矩形的性质（矩形的对角线相等）以及点到直线垂线段最短，确定点P、Q、N的位置，再通过角的计算可得出当QN最小时矩形PQMN是正方形，由正方形的邻边相等可求出m值，将其代入点Q、N的坐标中，利用待定系数法即可求出直线QN的函数表达式． 【解答】解：（1）∵OB＝2， ∴点B（0，2）， 令y＝x+2中x＝0，则y＝2， ∴直线y＝x+2过点B， 又∵BC平行x轴， ∴直线y＝x+2与矩形AOBC只有一个交点， ∴直线y＝x+2与矩形AOBC相切． 故答案为：相切． （2）依照题意画出图形，如图6所示． ①当y＝x+b过点B时，b＝2； 当y＝x+b过点A时，有0＝3+b，解得：b＝﹣3． ∴当直线y＝x+b与矩形AOBC相离时，b＜﹣3或b＞2． 故答案为：b＜﹣3或b＞2． ②由①可知：当直线y＝x+b与矩形AOBC相交时，﹣3＜b＜2． 故答案为：﹣3＜b＜2． （3）∵P（m，m+2），Q（3，m+2），M（3，1），N（m，1）， ∴PQ∥MN，PN∥QM，PN⊥x轴， ∴四边形PQMN是矩形， ∴PM＝QN． 令y＝x+2中x＝3，则y＝5， ∵5＞1， ∴点M在直线y＝x+2的下方， ∵直线y＝x