第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积.doc

第31课时　弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积 (60分) 一、选择题(每题5分，共30分) 1．[2014·成都]在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是 (C) A．6π cm2 B．8π cm2 C．12π cm2 D．24π cm2 2．[2015·凉山]将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为 (A) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 【解析】　由侧面积公式＝4π，得R＝4，故扇形的半径为4 cm，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝π·4，解得r＝1 cm，故选A. 3．如图31－1，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为 (C) A．6 mm B．12 mm C．6 mm D．4 mm 图31－1 4．[2015·成都]如图31－2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为 (D) A．2， B．2，π C.， D．2， 图31－2 　　　　第4题答图 【解析】　在正六边形中，我们连结OB，OC，则△OBC为等边三角形，边长等于半径4.因为OM为边心距，所以OM⊥BC，所以，在边长为4的等边三角形中，边上的高OM＝2.弧BC所对的圆心角为60°，所以弧长为＝＝.故选D. 图31－3 5．[2015·新疆]如图31－3，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 (B) A.－ B.－ C.－ D.－ 【解析】　∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∵CD＝1，∠DBC＝30°， ∴BD＝2CD＝2， 由勾股定理得BC＝， ∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处， ∴BE＝BD＝2， ∵S扇形DBE＝＝＝， S△BCD＝·BC·CD＝××1＝， 图31－4 ∴阴影部分的面积＝S扇形DBE－S△BCD＝－. 6．[2015·攀枝花]如图31－4，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1，则图中阴影部分的面积为 (D) A. B. C. D. 【解析】　∵AE2＋CE2＝4＝AC2， ∴△ACE为直角三角形，且∠AEC＝90°， ∴AE⊥CD，∴＝， ∴∠BOD＝∠COB， ∵sinA＝＝，∴∠A＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°， ∴∠BOD＝∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， 在Rt△OCE中， ∵sin∠COE＝，即sin60°＝， 解得OC＝， ∴S阴影＝＝＝π. 二、填空题(每题5分，共30分) 7．[2015·遂宁]在半径为5 cm的⊙O中，45°圆心角所对的弧长为____cm. 【解析】　弧长公式：l＝＝＝. 8．[2015·长沙]圆心角是60°且半径为2的扇形面积为__π__(结果保留π)． 9．[2015·泸州]用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是__2__． 图31－5 10．[2015·湖州]如图31－5，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于____． 【解析】　S＝＝＝. 11．[2014重庆]如图31－6，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积是__4－π__(结果保留π)． 图31－6 　　　第11题答图 【解析】　连结OC， ∵AB与圆O相切， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴∠AOC＝∠BOC，∠A＝∠B＝30°， 在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝4， ∴OC＝OA＝2，∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， AC＝＝2， ∴AB＝2AC＝4， 则S阴影＝S△AOB－S扇形 ＝×4×2－ ＝4－. 图31－7 12．[2014·达州]如图31－7，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是__π－2__. 【解析】　∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积是： S阴影部分面积＝S半圆AB的面积＋S半圆BC的面积－S△ABC的面积 ＝π×＋π×－×2×2 ＝π－2. 三、解答题(共10分) 13．(10分)[2015·临沂]如图31－8，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连结AD. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)． 图31－8 解：(1)证明：∵BC为切线， ∴OD⊥BC，∵∠C＝90°， ∴OD∥AC， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠OAD， ∴AD平分∠BAC； (2)设AD与OE的交点为F， ∵AO＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝60°， ∴∠AOE＝60°，∴△AOE为等边三角形， ∴AF⊥EO，EF＝OF， ∵AC∥OD， ∴△AEF的面积等于△ODF的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形DOE的面积＝π×22＝π. (20分) 14．(10分)[2014·滨州]如图31－9，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°. (1)求证：CD是的切线； (2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 图31－9 　第14题答图 解：(1)证明：连结OC， ∵AC＝CD，∠ACD＝120°. ∴∠A＝∠D＝30°， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠COD＝2∠A＝60°， ∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD. 又∵点C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线． (2)∵∠OCD＝90°，OC＝2，∠D＝30°， ∴OD＝4，CD＝＝2. ∴S△OCD＝OC·CD＝×2×2＝2， S扇形COB＝＝π， ∴S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝2－π. 15．(10分)[2015·福州]如图31－10，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tanB＝.半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到. (1)求证：AB为⊙C的切线； (2)求图中阴影部分的面积． 图31－10 　　　　第15题答图 解：(1)如答图，过点C作CF⊥AB于点F， 在Rt△ABC中， tanB＝＝， ∴BC＝2AC＝2， ∴AB＝＝＝5， ∴CF＝＝＝2. ∴AB为⊙C的切线； (2)S阴影＝S△ABC－S扇形ECD ＝AC·BC－ ＝××2－ ＝5－π. (10分) 图31－11 16．(10分)[2014·襄阳]如图31－11，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG. (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°. ∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF， ∴△ABF≌△CBE， ∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC， ∴∠AFB＋∠FAB＝90°. ∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG， ∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG， ∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB. ∴EC∥FG. ∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴EF∥CG； (2)∵△ABF≌△CBE， ∴FB＝BE＝AB＝1， ∴AF＝＝. 在△FEC和△CGF中 ∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF， ∴△FEC≌△CGF， ∴S△FEC＝S△CGF. ∴S阴影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG ＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－ ＝－.