勾股定理（提高）知识讲解.doc

馨雅资源网 勾股定理（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： ，， ． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC中，AB=AC，D是BC延长线上的点，求证： 【答案与解析】 证明：作等腰三角形底边上的高AE 　　 ∵AB=AC，AE⊥BC ∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90° ∴ 【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题． 类型二、与勾股定理有关的线段长 2、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． 【答案与解析】 解：连接BD， ∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， ∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°， ∴∠C=45°， ∴∠ABD=∠C， 又∵DE丄DF， ∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF， ∴∠FDC=∠EDB， 在△EDB与△FDC中， ∵， ∴△EDB≌△FDC（ASA）， ∴BE=FC=3， ∴AB=7，则BC=7， ∴BF=4， 在Rt△EBF中， EF2=BE2+BF2=32+42， ∴EF=5． 【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长． 举一反三： 【变式】（2015春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长． 【答案】 解：∵PA⊥OA，∠C=30°， ∴PC=2PA=4， ∴BC=BP+PC=11+4=15， ∵PB⊥OB，∠C=30°， 设OB=x，则OC=2x， 在Rt△BOC中，由勾股定理得： x+15=（2x）， 解得，x=5， 即OB=5， ∴OP===14． 类型三、与勾股定理有关的面积计算 3、（2015•丰台区二模）问题背景： 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积． （1）请你直接写出△ABC的面积　 　； 思维拓展： （2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积． 【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可． 【答案与解析】 解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是： S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC =4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3 =4.5， 故答案为：4.5； （2）如图2的△MNP， S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP =5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1 =7， 即△MNP的面积是7． 【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大． 举一反三： 【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（　　） 　 A． 17 B． 36 C． 77 D． 94 【答案】C 类型四、利用勾股定理解决实际问题 4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A共走了(10+20)=30，另一只猴子从B→D→A也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决． 【答案与解析】 解：设树高CD为，则BD＝－10，AD＝30－(－10)＝40－， 在Rt△ACD中，， 解得：＝15． 答：这棵树高15． 【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解． 举一反三： 【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3) 【答案】 解：如图②所示，由题意可得： ， 在Rt△AA′B中，根据勾股定理得： 则AB＝15． 所以需要爬行的最短路程是15． 学魁网