命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解.doc

馨雅资源网 命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解 责编：赵炜 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论； 2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理； 4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式； 5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释： 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2．平行线的判定定理 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、定义与命题 1．请说出下列名词的定义： （1）无理数 （2）直角三角形 【答案与解析】 解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数. （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 【总结升华】对学过的定义要准确地牢记. 举一反三： 【变式】指出下列句子哪些是定义. (1)两直线平行,内错角相等； (2)两腰相等的梯形叫等腰梯形； (3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； (4)等腰三角形的两底角相等； (5)平行四边形的对角线互相平分； (6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 【答案】（2），（3），（6）是定义. 2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （！）如果，那么； （2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角. 【答案与解析】 解：（1）条件：；结论：.它是真命题. （2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角. 【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例. 举一反三： 【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（　　）. A．若，则 B．若a＞b，则am＞bm C．两个等腰三角形必定相似 D．位似图形一定是相似图形 【答案】D 类型二、公理、定理及证明 3．证明：等角的余角相等． 【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明. 【答案与解析】 已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°. 求证：∠3＝∠4. 证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知） ∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质） ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠3=∠4（等量代换）. 【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”. 举一反三： 【变式】“垂线段最短”是（ ）. A．定义 B．定理 C．公理 D．不是命题 【答案】B 类型三、平行线的判定定理 4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行． 【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”． 【答案与解析】 解：(1)由∠1＝∠3， 可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）； (2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得： ∠2＝∠BAD－∠1＝∠DCB－∠3＝∠4（等式性质）， 即∠2＝∠4 ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD. 【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果． 举一反三： 【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）. A．∠1＝∠3　　B．∠2＝∠3　　C．∠4＝∠5　　D．∠2+∠4＝1800 【答案】B 【高清课堂：平行线及判定 例1】 【变式2】已知，如图，BE平分ÐABC，CF平分ÐBCD，Ð1=Ð2，求证：AB//CD． 【答案】∵ Ð1=Ð2 ∴ 2Ð1=2Ð2 ，即∠ABC＝∠BCD ∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行） 5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC． 【答案与解析】 证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∠CFE=∠E， ∴∠1=∠CFE=∠E， ∴∠2=∠E， ∴AD∥BC． 【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理． 【高清课堂：平行线及判定 例5】 举一反三： 【变式1】已知，如图，EF^EG，GM^EG，Ð1=Ð2，AB与CD平行吗？请说明理由． 【答案】 解：AB∥CD．理由如下：如图： ∵ EF^EG，GM^EG (已知)， ∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)． 又∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)， 即∠3＝∠4． ∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)． 【变式2】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误； （3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确． ∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个； 故选：C． 学魁网