圆周角和圆心角的关系—知识讲解（基础）.doc

馨雅资源网 圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础） 责编：常春芳 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.圆周角定理的推论： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( ) A．45° B．60° C．30° D．55° 【答案】A. ∵ AB＝BC＝CD＝DA， ∴ ， ∴ ∠BEC＝45°． 类型二、圆周角定理及应用 2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角? 【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】 (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角． 3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1=∠2． 【答案与解析】 　（1）解：∵BC=DC， ∴∠CBD=∠CDB=39°， ∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°； （2）证明：∵EC=BC， ∴∠CEB=∠CBE， 而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD， ∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠CBD， ∴∠1=∠2． 【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？ 为什么？ 　　　　　　 【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD， 证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 【答案与解析】 BD=CD. 理由是：如图，连接AD 　　　∵AB是⊙O的直径 　　　∴∠ADB=90°即AD⊥BC 　　　又∵AC=AB，∴BD=CD. 【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线. 举一反三： 【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　） 　 A．2 B． 4 C． 4 D． 8 【答案】C. 提示：∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=2∠A=45°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=OC=2， ∴CD=2CE=4． 故选：C． 类型三、圆内接四边形及应用 5．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2:3:4，求∠D的度数. 【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数. 【答案与解析】 解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴ ∠A：∠B：∠C：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°. 【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用. 举一反三： 【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（ ）. A.110° B.70° C.55° D.125° 【答案】D. 学魁网