专题22 圆的有关性质-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第四篇 图形的性质 专题22 圆的有关性质 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 垂径定理[来源:Z|xx|k.Com] 1．垂径定理[来源:学_科_网][来源:学_科_网] 能运用垂径定理解决有关问题．[来源:Zxxk.Com] 2．垂径定理逆定理 能运用垂径定理的逆定理解决有关问题． 圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 1．圆心角 了解圆心角的概念 2．圆心角、弧、弦之间相等关系的定理 应用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算． 圆周角 1．圆周角 了解圆周角的概念 2．圆周角的定理 理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1．（2017广西贵港市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45°　　　　　　B．60°　　　　　　C．75°　　　　　　D．85° 【答案】D． 【解析】 考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系． 2．（2017江苏省苏州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　） A．92°　　　　　　B．108°　　　　　　C．112°　　　　　　D．124° 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵∠ACB=90°，∠A=56°，∴∠ABC=34°，∵，∴2∠ABC=∠COE=68°，又∵∠OCF=∠OEF=90°，∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°．故选C． 考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．多边形内角与外角．学科~网 3．（2017云南省）如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（　　） A．30°　　　　　　B．29°　　　　　　C．28°　　　　　　D．20° 【答案】A． 【解析】 考点：1．圆周角定理；2．线段垂直平分线的性质． 4．（2017山东省烟台市）如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：连接OE，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴的长==；故选B． 考点：1．弧长的计算；2．平行四边形的性质；3．圆周角定理． 5．（2017山东省青岛市）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（　　） A．100°　　　　　　B．110°　　　　　　C．115°　　　　　　D．120° 【答案】B． 【解析】 考点：圆周角定理． 6．（2017广西贺州市）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】C． 【解析】 做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵=，并且弧的度数都是60°，∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°，∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确； 故选C． 考点：1．圆周角定理；2．轴对称﹣最短路线问题；3．最值问题． 7．（2017江苏省南通市）已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　） A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 【答案】C． 【解析】 考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理． 8．（2017辽宁省锦州市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（　　） A．55°　　　　　　B．50°　　　　　　C．45°　　　　　　D．40° 【答案】C． 【解析】 试题分析：∠B=∠DCE﹣∠F=55°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC=∠B=55°，∴∠E=180°﹣∠DCE﹣∠EDC=45°，故选C．学科！网 考点：1．圆内接四边形的性质；2．圆周角定理． 9．（2017四川省乐山市）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB．CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　） A．2米　　　　　　B．2.5米　　　　　　C．2.4米　　　　　　D．2.1米 【答案】B． 【解析】 考点：垂径定理的应用． 10．（2017四川省泸州市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．6　　　　　　D．8 【答案】B． 【解析】 试题分析：由题意，得：OE=OB﹣AE=4﹣1=3，CE=CD==，CD=2CE=，故选B． 考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 11．（2017四川省阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　） A．2cm　　　　　　B．cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．cm 【答案】D． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．翻折变换（折叠问题）． 12．（2017新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A．12　　　　　　B．15　　　　　　C．16　　　　　　D．18 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=AB=4． 设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE===6，∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．故选A． 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．学科#网 13．（2017湖南省永州市）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　） A．AB，AC边上的中线的交点　　　　 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高所在直线的交点　　　　D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【答案】B． 【解析】 考点：垂径定理的应用． 14．（2017青海省西宁市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．8 【答案】C． 【解析】 试题分析：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=．故选C． 考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．勾股定理． 二、填空题 15．（2017黑龙江省大庆市）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 ． 【答案】2． 【解析】 考点：1．正方形的性质；2．勾股定理；3．圆的认识． 16．（2017内蒙古包头市）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度． 【答案】20． 【解析】 考点：圆周角定理． 17．（2017北京市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD= ． 【答案】25°． 【解析】 试题分析：∵AD=CD，∴．∵AB为⊙O的直径，∠CAB=40°，∴=80°，∴=180°﹣80°=100°，∴=50°，∴∠CAD=25°．故答案为：25°． 考点：圆周角定理． 18．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．点与圆的位置关系；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．圆周角定理；5．动点型． 19．（2017南京）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= °． 【答案】27． 【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案为：27． 考点：1．圆周角定理；2．菱形的性质． 20．（2017海南省）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．三角形中位线定理；2．圆周角定理；3．最值问题． 21．（2017湖北省十堰市）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=，则BC的长为 ． 【答案】8． 【解析】 试题分析：连接BD，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴AD=BD=．∵AB是⊙O的直径，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB= = =10．∵AC=6，∴BC===8．故答案为：8． 考点：1．圆周角定理；2．勾股定理． 22．（2017四川省广元市）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ． 【答案】14或2． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．平行线之间的距离；3．分类讨论． 23．（2017四川省眉山市）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm． 【答案】5． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 24．（2017浙江省嘉兴市）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ． 【答案】32+48π． 【解析】 试题分析：连接OA、OB，∵ =90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=×8×8=32，扇形ACB（阴影部分）= =48π，则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，故答案为：（32+48π）cm2． 考点：1．垂径定理的应用；2．扇形面积的计算． 25．（2017湖北省襄阳市）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为 ． 【答案】15°或105°． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．解直角三角形；3．分类讨论． 26．（2017贵州省遵义市）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形． 三、解答题 27．（2017四川省乐山市）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD． （1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值． 【答案】（1）PD是⊙O的切线；（2）8． 【解析】 试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线； （2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值． 试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线． 证明如下： 连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线． （2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆心角、弧、弦的关系；3．直线与圆的位置关系；4．探究型． 28．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N． （1）求证：CA=CN； （2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN； （2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度． 试题解析：（1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示． ∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°． ∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF． ∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF． ∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN． （2）连接OC，如图2所示． ∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN= = = a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8． 设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=． 考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 29．（2017北京市）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB=DE； （2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 试题解析：（1）证明：∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBE+∠EBD=90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA=90°，∵∠CEA=∠DEB，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE． （2）作DF⊥AB于F，连接OE． ∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF=BE=3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，∴DF= =4，∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE=，∵AE=6，∴AO=，∴⊙O的半径为． 考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．垂径定理． 30．（2017广东省）如图，AB是⊙O的直径，AB=，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：CB是∠ECP的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当时，求劣弧的长度（结果保留π） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 试题解析：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE． （2）证明：连接AC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE． （3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长= =． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算． 31．（2017湖南省株洲市）如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D． ①求证：CE∥BF； ②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）． 【答案】①证明见解析；②2． 【解析】 试题解析：①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示： ∵BE=EF，∴∠F=∠EBF．∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF； ②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理． 【2016年题组】 一、选择题 1．（2016内蒙古赤峰市）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．2π 【答案】B． 【解析】 考点：圆的认识． 2．（2016山东省聊城市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　） A．45°　　　　B．50°　　　　C．55°　　　　D．60° 【答案】B． 【解析】 考点：1．圆内接四边形的性质；2．圆心角、弧、弦的关系；3．圆周角定理． 3．（2016浙江省舟山市）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　） A．120°　　　　　　B．135°　　　　　　C．150°　　　　　　D．165° 【答案】C． 【解析】 试题分析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选C． 考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（2016甘肃省兰州市）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　） A．40°　　　　B．45°　　　　C．50°　　　　D．60° 【答案】A． 【解析】 考点：圆心角、弧、弦的关系． 5．（2016湖南省永州市）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（　　） A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理 B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理 C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理 D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理 【答案】B． 【解析】 试题分析：A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确； B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误； C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确； D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确． 故选B． 考点：1．圆的认识；2．线段的性质：两点之间线段最短；3．垂线段最短；4．三角形的稳定性． 6．（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（　　） A．40°，80°　　　　　　B．50°，100°　　　　　　C．50°，80°　　　　　　D．40°，100° 【答案】B． 【解析】 考点：1．圆周角定理；2．垂径定理． 7．（2016陕西省）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠ABC和∠BOC互补，则弦BC的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠OBC==，∴BC=．故选B． 考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．解直角三角形． 8．（2016贵州省黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　） A．cm　　　　　　B．3cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．6cm 【答案】A． 【解析】 考点：垂径定理． 9．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（　　） A．3　　　　　　B．2.5　　　　　　C．4　　　　　　D．3.5 【答案】C． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 10．（2016安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC==5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2，∴PC最小值为2．故选B． 考点：1．点与圆的位置关系；2．圆周角定理；3．最值问题． 11．（2016山东省聊城市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（　　） A．45°　　　　B．50°　　　　C．55°　　　　D．60° 【答案】B． 【解析】 考点：1．圆内接四边形的性质；2．圆心角、弧、弦的关系；3．圆周角定理． 12．（2016广东省茂名市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（　　） A．150°　　　　B．140°　　　　C．130°　　　　D．120° 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A． 考点：圆周角定理． 13．（2016湖南省娄底市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　） A．20°　　　　B．40°　　　　C．50°　　　　D．70° 【答案】C． 【解析】 考点：圆周角定理． 14．（2016湖南省张家界市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（　　） A．75°　　　　B．60°　　　　C．45°　　　　D．30° 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°． 故选D． 考点：圆周角定理． 15．（2016湖南省邵阳市）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（　　） A．15°　　　　B．30°　　　　C．60°　　　　D．75° 【答案】D． 【解析】 考点：1．切线的性质；2．圆周角定理． 16．（2016贵州省毕节市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　） A．100°　　　　B．72°　　　　C．64°　　　　D．36° 【答案】C． 【解析】 试题分析：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=28°，∴∠OAB=64°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=64°，故选C． 考点：圆周角定理． 二、填空题 17．（2016吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，50°＜∠BPD＜100°即可，如：80． 【解析】 考点：1．圆内接四边形的性质；2．圆周角定理． 18．（2016吉林省长春市）如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为 度． 【答案】30°． 【解析】 考点：圆周角定理． 19．（2016四川省雅安市）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为 ． 【答案】8． 【解析】 试题分析：连接AD，如图所示： ∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∴BM=EM，∴CE=2MD=4，∴AE=AC﹣CE=6，∴BE===8；故答案为：8． 考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质． 20．（2016广西贵港市）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理． 21．（2016江苏省南京市）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB= °． 【答案】119． 【解析】 试题分析：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=122°，∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°． ∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣61°=119°．故答案为：119． 考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系． 22．（2016江苏省徐州市）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= °． 【答案】125． 【解析】 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理． 23．（2016青海省西宁市）⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为 ． 【答案】75°或15°． 【解析】 试题分析：有两种情况： ①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°； ②如图2所示： 连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°； 故答案为：75°或15°． 考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．解直角三角形；4．分类讨论． 24．（2016黑龙江省龙东地区）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．最值问题． 25．（2016江苏省宿迁市）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ． 【答案】． 【解析】 考点：垂径定理． 26．（2016浙江省绍兴市）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm． 【答案】25． 【解析】 试题分析：解；如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O半径为R，∵OC⊥AB，∴AD=DB=AB=20，∠ADO=90°，在RT△AOD中，∵，∴，∴R=25．故答案为：25． 考点：垂径定理的应用． 27．（2016贵州省贵阳市）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是 ． 【答案】． 【解析】 考点：1．垂径定理；2．解直角三角形． 三、解答题 28．（2016上海市）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD． （1）求证：AD=CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 试题解析：（1）在⊙O中，∵，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，∵AB=CA，∠B=∠EAC，BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形． 考点：1．三角形的外接圆与外心；2．全等三角形的判定与性质；3．平行四边形的判定；4．圆心角、弧、弦的关系． 29．（2016四川省雅安市）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D． （1）求证：△PCD是等腰三角形； （2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）12． 【解析】 试题解析：（1）连接OC，∵EC切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴∠1+∠3=90°，又∵OP⊥OA，∴∠2+∠4=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形； （2）如图2，连接OC、BC．∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OCB+∠BCE=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC+∠BCE=90°，又∵CG⊥AB，∴∠OBC+∠BCG=90°，∴∠BCE=∠BCG，∵BF∥DE，∴∠BCE=∠QBC，∴∠BCG=∠QBC，∴QC=QB=5，∵BF∥DE，∴∠ABF=∠E，∵sinE=，∴sin∠ABF=，∴QH=3、BH=4，设⊙O的半径为r，∴在△OCH中，，解得：r=10，又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=，∴AF=12． 考点：1．切线的性质；2．垂径定理． 30．（2016江苏省无锡市）如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2