专题14 反比例函数-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

2018年中考数学备考之黄金考点聚焦 考点十四：反比例函数 聚焦考点☆温习理解 1、反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。学%科网 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。 。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、反比例函数的性质 【例1】. （2017海南第14题）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ） A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 【答案】C. 考点：反比例函数的性质. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解决问题的关键是掌握函数的性质． 【举一反三】 1. （2017湖南张家界第8题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与（m≠0）的图象可能是（　　） A．　　　　　　B． C．　　　　　　D． 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误； B．由反比例函数图象得m＞0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误； D．由反比例函数图象得m＜0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确． 故选D． 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．[来源:学科网ZXXK] 2.（河南郑州华夏中学2017年九年级数学中考模拟）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征 【例2】（2017湖南怀化第10题）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则的值是( ) A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】 试题解析：连接OA、OC、OD、OB，如图： 由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2， ∵S△AOC=S△AOE+S△COE， ∴AC•OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①， ∵S△BOD=S△DOF+S△BOF， ∴BD•OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②， 由①②两式解得OE=1， 则k1﹣k2=2． 故选D． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 【举一反三】 1. （2017湖南株洲第17题）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则=　　．学+科网 【答案】=﹣. 【解析】 试题分析：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°， ∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°， 设AC=a，则OA=2a，OC=a，∴A（a，a）， ∵A在函数y1=（x＞0）的图象上，∴k1=a•a=a²， Rt△BOC中，OB=2OC=2a，∴BC==3a，∴B（a，﹣3a）， ∵B在函数y2=（x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a·a=﹣3a²，∴=﹣； 故答案为：﹣． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2.（陕西西安市西北工业大学附属中学2017届九年级第九次适应性训练）如图， 的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边中点，与另一直角边交于点，若，则的值为__________． 【答案】12 【解析】解：作于， ∵点、在双曲线上， ∴， ∵点为的中点， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，∴． 考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例3】已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是【 】 A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0 C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二象限的一支曲线上， ∴，且.∴. 又∵x1，x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根， ∴.∴. 故选C． 考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2=． 【举一反三】 已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式。 【答案】（－1，） 【解析】 试题分析：根据反比例函数和正比例函数的均过A点，求出解析式，联立方程组可求交点的坐标. 试题解析：解：设反比例函数的解析式为,正比例函数的解析式为， 依题意得：，, 故两个函数分别为：，， 联立方程组为 ， 解之得：， 故另一个交点坐标为（－1，）. 考点：正比例函数与反比例函数 考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题 【例4】（2017甘肃兰州第11题）如图，反比例函数与一次函数的图像交于、两点的横坐标分别为、，则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D.或 【答案】B 【解析】 试题解析：∵反比例函数与一次函数y=x+4的图象交于A点的横坐标为﹣3， ∴点A的纵坐标y=﹣3+4=1， ∴k=xy=﹣3， ∴关于x的不等式的解集即不等式﹣＜x+4（x＜0）的解集， 观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴关于x的不等式的解集为：﹣3＜x＜﹣1． 故选B． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键． 【举一反三】 1. （2017四川自贡第12题）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2= （k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【答案】D. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 2. （2017内蒙古通辽第17题）如图，直线与轴分别交于，与反比例函数的图象在第二象限交于点.过点作轴的垂线交该反比例函数图象于点.若，则点的坐标为 . 【答案】（﹣3，4﹣2） 【解析】 试题分析：过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，），得到AD=，AC=，于是得到C（﹣+，﹣），列方程即可得（﹣+）•（﹣）=k，解得k=6﹣12，因此可求D（﹣3，4﹣2）， 故答案为：（﹣3，4﹣2）． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义 【例5】（2017浙江衢州市第8题）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB⊥轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）学科+网 A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C． 【解析】 试题解析：设A（a，），可求出D（2a，）， ∵AB⊥CD， ∴S四边形ACBD=AB•CD=×2a×=4， 故选C． 考点：反比例函数系数k的几何意义. 【举一反三】 1. （2017黑龙江齐齐哈尔第18题）如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图像经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于 ． 【答案】-24. 【解析】 试题分析：作DE∥AO，CF⊥AO，设CF=4x， ∵四边形OABC为菱形，∴AB∥CO，AO∥BC，∵DE∥AO，∴S△ADO=S△DEO， 同理S△BCD=S△CDE，∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO=40， ∵tan∠AOC=，∴OF=3x，∴OC= =5x，∴OA=OC=5x， ∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2，解得：x= ，∴OF=3，CF=4，∴点C坐标为（﹣3，4）， ∵反比例函数y= 的图象经过点C，∴代入点C得：k=﹣24. 考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.菱形的性质；4.解直角三角形． 2.（四川省达州地区2017年中考数学模拟）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC=BD． 其中正确的是（　 　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】试题解析：∵一次函数y=x+3的图象与轴，y轴交于A，B两点， ∴A（-3，0），B（0，3）． ∵与反比例函数y=的图象相交于C，D两点， ∴，解得或， ∴C（-4，-1），D（1，4）． ∵DF⊥x轴，CE⊥y轴， ∴E（0，-1），F（1，0）， ∴CE=DF=4，CF=DE=． 在DCE与△CDF中， ∵ ∴△DCE≌△CDF（SSS），故①正确； 设直线EF的解析式为y=mx+n（m≠0）， ∵E（0，-1），F（1，0）， ∴，解得 ， ∴直线EF的解析式为y=x-1． ∵直线AB的解析式为：y=x+3， ∴AB∥EF， ∴∠FEO=∠ABO，∠EFO=∠BAO， ∴△AOB∽△FOE，故②正确； ∵EF∥AB， ∴△CEF与△DEF同底等高， ∴△CEF与△DEF的面积相等，故③正确； ∵A（-3，0），B（0，3），C（-4，-1），D（1，4）， ∴AC=，BD=， ∴AC=BD，即④正确． 故选D． 课时作业☆能力提升 一、选择题 1. （山东省滨州博兴县2017届九年级学业水平模拟）函数是反比例函数，则m的值为（　　） A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 0或1 【答案】A 【解析】由是反比例函数，得 m2+m-1=-1且m+1≠=0， 解得m=0， 故选：A． 2. （2017郴州第6题） 已知反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】 试题分析：直接把点（1，﹣2）代入反比例函数可得k=-2,故选C. 考点：反比例函数图象上点的坐标特点. 3. （山东省德州市2017年中考数学第三次模拟）已知反比例函数的图象在一、三象限，则直线y=kx+k的图象经过（ ）. A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限 D. 一、二、四象限 【答案】A 【解析】∵反比例函数y= 的图象在第一、三象限， ∴k＞0， ∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴的上方，即它的图象经过第一、二、三象限． 故选A． 4. （2017江苏徐州第7题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为 （ ） A． B．或 C. D．或 【答案】B． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 5．（山东省德州市2017年中考数学第二次模拟）在函数的图像上有三点、、，若 则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：本题利用反比例函数的增减性即可作答. 解：∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小. ， 又∵第二象限内图象上的点的纵坐标大于第四象限上的点的纵坐标， ∴. 故选B. 考点：反比例函数的性质． 6. （河南省2017年中考数学押题）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 7. （辽宁省丹东市第六中学2017届九年级第二次模拟）已知函数y=的图像经过点（1，-1），则函数y=kx-2的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将（1，-1），代人y=，得k=-1， 所以一次函数的解析式为y=-x-2. 根据k=-1＜0，且过点（0，-2），可判断图像经过二、三、四象限. 故选A. 8.在平面直角坐标系中，直线y =－x＋2与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ） (A) b﹥2. (B) －2﹤b﹤2. (C) b﹥2或b﹤－2. (D) b﹤－2. 【答案】C 【解析】 试题分析：根据题意可知这个一次函数y =－x＋2和反比例函数的交点为（1，1），直线y =－x＋2与y轴的交点为（0,2），根据对称性可知直线y =－x＋2向下平移，得到y=-x+b，会与双曲线的另一支也有一个交点（-1，-1），且这时的直线y=-x+b与y轴的交点为（0，-2），即直线为y=-x-2，因此这两条直线与双曲线有两个交点时，直线y =－x＋2向上移，b的取值范围为值为b﹥2，或直线y=-x-2向下移，b的取值范围为b﹤－2，即b﹥2或b﹤－2. 故选C 考点：一次函数的平移，反比例函数与一次函数的交点 二、填空题 9 （2016-2017学年苏州市工业园区东沙湖学校八年级第二学期数学期中模拟）如图,已知双曲线y= (k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k=___. 【答案】4 【解析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点, ∵△ODE的面积和△OAC的面积相等。 ∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6. 设D点的横坐标为x,纵坐标就为， ∵D为OB的中点。 ∴EA=x ，AB=， ∴四边形DEAB的面积可表示为： ， k=4. 故答案为：4. 考点：反比例函数. 10. （辽宁省盘锦市2017年中考三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，当y1>y2时，－1<x<0或x>3，则一次函数的解析式为_____________________. 【答案】y=x－2 【解析】根据题意得出A、B两点的坐标，分别代入反比例函数y=即可求得坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式. 解：根据题意：A、B两点的横坐标分别为-1，3， 把x=-1代入y=得，y=-3，[来源:学科网ZXXK] ∴A（-1，-3）， 把x=3代入y=得，y=1， ∴B（3，1）， ∵一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点， ∴，解得. ∴一次函数的解析式为y=x-2. 故答案为：y=x-2. 考点：反比例函数与一次函数的性质. 11. （2017贵州黔东南州第15题）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=-和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为　 　．学+科网[来源:学科网] [来源:学科网][来源:学科网ZXXK] 【答案】-8 【解析】 试题解析：设A（a，b），则B（2a，2b）， ∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上， ∴ab=﹣2； ∵B点在反比例函数y2=的图象上， ∴k=2a•2b=4ab=﹣8． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 12. （2017江苏盐城第16题）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（-4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ． 【答案】8. 【解析】 试题解析：∵A（-4，4），B（2，2）， ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴． 在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0）， ∴直线AB解析式为y′=-2x′+8， 由，解得 或， ∴M（1.6），N（3，2）， ∴S△OMN=S△OBM-S△OBN=•4•6-•4•2=8 考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数系数k的几何意义． 13. （2017山东烟台第17题）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 . 【答案】3 【解析】 试题解析：设点P（m，m+2）， ∵OP=， ∴， 解得m1=1，m2=﹣3（不合题意舍去）， ∴点P（1，3）， ∴3=， 解得k=3． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 14. （2017年四川省达州市中考数学模拟）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若D为OB的中点，△ADO的面积为3，则k的值为_____． 【答案】8． 【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD=BE，设A（x，），则B（2x，），故CD=，AD=﹣，再由△ADO的面积为1求出k的值即可得出结论． 考点：反比例函数综合题. 三、解答题 15. （2017湖南株洲第24题）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥x轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB． ①求k的值以及w关于t的表达式； ②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a为实数，求Tmin． 【答案】①求k的值以及w关于t的表达式； ②Tmin=． 【解析】 试题分析：（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案． 试题解析：（1）∵点P（3，4），∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，）， 当y=4时，x=，即点B（，4），则S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣）， 如图，延长PA交x轴于点C， 则PC⊥x轴，又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t， ∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t； （2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，∴wmax=， 则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+， ∴当a=时，Tmin=． 考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征. 16. （2017浙江宁波第22题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点.点在轴负半轴上，，的面积为12. (1)求的值； (2)根据图象，当时，写出的取值范围. 【答案】（1）-12；（2）x<-2或0<x<2. 【解析】 试题分析：（1）过点A作AD⊥OC，根据ΔACO的面积为12,可求k的值； （2）联立方程组，求解得到交点坐标，从而可求出x的取值范围. 试题分析：（1）如图，过点A作AD⊥OC于点D， 又∵AC =AO CD=DO ∴SΔADO=SΔACO=6 ∴k=-12 （2）由（1）得：y= 联立，得 解得：， 故，当时，的取值范围是x<-2或0<x<2. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 17. （山东省德州市六校2018届九年级上学期第一次联考）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（2，1），B（－1，n）两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次例函数的解析式； （3）求△AOB的面积. 【答案】(1) y＝；（2）y＝x－1；(3) . 【解析】试题分析：（1）将A（2，1）代入反比例函数解析式，求出m；（2）将x=－1代入反比例函数解析式，求出n的值，已知两个点的坐标，要求一次函数解析式，将一次函数解析式设为一般形式，将两个点的坐标代入解析式求出未知参数即可；（3）设直线y＝x－1与坐标轴分别交于C、D，将S△AOB分割成S△BOD、S△COD、S△AOC三部分，分别求出三部分的面积再求和即可. 试题解析： (1)∵A（2,1），∴ m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18. （2017广西百色第21题）已知反比例函数的图象经过点，点与点关于原点对称，轴于点，轴于点 （1） 求这个反比例函数的解析式； （2） 求的面积. 【答案】（1）反比例函数的解析式为y= ；（2）S△ACD=6． 【解析】 试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据三角形的面积公式，可得答案． 试题解析：（1）将B点坐标代入函数解析式，得 =2，解得k=6， 反比例函数的解析式为y= ； （2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）． 由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）． S△ACD=AD•CD= [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6． 考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.坐标与图形变化﹣旋转． 27 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！