中考数学专题复习全攻略：第二节 与圆有关的位置关系.doc

第二节 与圆有关的位置关系 知识点一：与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d<r ⇔点在⊙O内； (2)d＝r ⇔点在⊙O上； 注意：判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可. (3)d>r⇔点在⊙O外 ． 2.直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 位置关系[来源:Zxxk.Com][来源:Z+xx+k.Com] 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d＝r d＜r 注意：由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况. 变式练习1：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3. 变式练习2： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 知识点二 ：切线的性质与判定 1.切线的判定 （1）与圆只有一个公共点 的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直； ②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径. 变式练习：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝________． 【解析】如解图，连接OB，∵AB为⊙O的切线，点B是切点，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠BOA＝50°，∴∠C＝25°. 2.切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点. 注意：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的 半径. 3.切线长 （1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 变式练习1：如图，AB、AC、DB是⊙O的切 线，P 、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2. 变式练习2：如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA＝∠BAD； (2)求DE的长； (3)求证：BE是⊙O的切线． (1)证明：∵BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD. 又∵∠BDA＝∠BCA， ∴∠BCA＝∠BAD; (2)解：∵AC是⊙O的直径， ∴∠CBA＝90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC＝＝＝13， ∵∠CBA＝∠E＝90°， ∠BDC＝∠BAC， ∴△ACB∽△DBE， ∴＝， ∴DE＝＝； (3)证明：如解图，连接OB，则OB＝OC， 第4题解图 ∴∠OBC＝∠OCB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， 又∵∠BCE＋∠BCD＝180°， ∴∠BCE＝∠BAD， 由(1)知∠BCA＝∠BAD， ∴∠BCE＝∠BCA， 又∵∠BCA＝∠OBC， ∴∠BCE＝∠OBC， ∴OB∥DE. ∵BE⊥DE， ∴OB⊥BE， ∵OB为⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线. 变式练习3： 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径． (1)证明：连接CO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠FAB，∴∠CAE＝∠OAC，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线　 (2)解：连接BC，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠CEA，∵∠CAE＝∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴＝，∴＝，∴AB＝5，∴AO＝2.5，即⊙O的半径为2.5. 变式练习4： 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( D ) A．70° B．35° C．20° D．40° 知识点四 ：三角形与圆 1.三角形的外接圆图形 （1）相关概念：经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形 （2）圆心的确定：三角形三条垂直平分线的交点 （3）外心的性质：到三角形的三个顶点的距离相 等 2.三角形的内切圆 （1）相关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形 （2）圆心的确定：到三角形三条角平分线的交点 （3）内心的性质：到三角形的三条边的距离相等 3.内切圆半径与三角形边的关系： （1）任意三角形的内切圆（如图1），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr. （2）直角三角形的内切圆（如图2） 若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用. 变式练习1：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5. ,第2题图) 变式练习2：如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B ) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 变式练习3： 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为__122°__. ,第3题图)　 知识点五 ：圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-r<d<R+r（R≥r） 两圆内切d=R-r（R>r） 两圆内含d<R-r（R>r） 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 变式练习：如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是__8_cm__．