专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明.doc

专题提升(九)　以全等为背景的计算与证明 【经典母题】 图Z9－1 如图Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．求证：AD⊥BC(填空)． 证明：在△ABD和△ACD中， ∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)， ∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)． ∴∠ADB＝∠BDC＝90°(平角的定义)， ∴AD⊥BC(垂直的定义)． 【思想方法】　(1)证明两角相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或者内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据． 【中考变形】 1．[2017·宜宾]如图Z9－2，已知点B，E，C，F在同一条直线上， 图Z9－2 AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF. 证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)， ∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF. 2．[2017·南充]如图Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD. 图Z9－3 证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE. ∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠AFC＝∠BED＝90°. 在△AFC和△BED中， ∴△AFC≌△BED(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD. 3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证： 图Z9－4 (1)BD＝CE； (2)∠M＝∠N. 证明：(1)在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE； (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE， 即∠BAN＝∠CAM， 由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C， 在△ACM和△ABN中， ∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N. 4．[2016·孝感]如图Z9－5，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD. 图Z9－5 证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又∵AD＝AE， ∴AB－AE＝AC－AD，∴BE＝CD. 5．如图Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证：△ACD≌△AED； (2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长． 图Z9－6 解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD. ∵DE⊥AB，∠C＝90°， ∴∠C＝∠AED＝90°. 又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)； (2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1. ∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2. 6．如图Z9－7，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC. (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数． 图Z9－7 解：(1)证明：∵在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(AAS)； (2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB. ∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°. 7．[2017·齐齐哈尔]如图Z9－8，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点． 图Z9－8 (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连结EF，若AC＝10，求EF的长． 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△BDG和△ADC中， ∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC，∠BGD＝∠C， ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点， ∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF， ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD， ∴∠EDG＋∠FDA＝90°， ∴DE⊥DF； (2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝5， 由勾股定理，得EF＝＝5. 8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图Z9－9，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF. 图Z9－9 证明：∵在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS)， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC. 又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF. 【中考预测】 如图Z9－10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. 图Z9－10 (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)； (2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.