专题提升(九)以全等为背景的计算与证明【经典母题】如图Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．求证：AD⊥BC(填空)．证明：在△ABD和△ACD中，∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)，∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)．∴∠ADB＝∠BDC＝90°(平角的定义)，∴AD⊥BC(垂直的定义)．【思想方法】(1)证明两角相等，可证它们所在的两个三角形全等；(2)由平行线可得同位角或者内错角相等；(3)要完成一般三角形全等的证明，必须以SAS，ASA，AAS，SSS作为依据．【中考变形】1．[2017·宜宾]如图Z9－2，已知点B，E，C，F在同一条直线上，图Z9－2AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.证明： AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF，∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.2．[2017·南充]如图Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.图Z9－1图Z9－3证明： AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE. DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠AFC＝∠BED＝90°.在△AFC和△BED中，∴△AFC≌△BED(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：图Z9－4(1)BD＝CE；(2)∠M＝∠N.证明：(1)在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE；(2) ∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M＝∠N.4．[2016·孝感]如图Z9－5，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.图Z9－5证明： BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又 AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，∴BE＝CD.5．如图Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．图Z9－6解：(1)证明： AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD. DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°.又 AD＝AD，∴△ACD≌△AED(AAS)；(2) △ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1. ∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.6．如图Z9－7，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．图Z9－7解：(1)证明： 在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(AAS)；(2) △ABE≌△DCE，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB. ∠EBC＋∠ECB＝...
