《平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解.doc

馨雅资源网 《平行四边形》全章复习与巩固（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理. 2.掌握三角形的中位线定理. 3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式. 4.积累数学活动经验，发展推理能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 要点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定定理 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： （1） 这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. 2．平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等. 要点五、三角形的中位线 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点六、多边形内角和、外角和 边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 【典型例题】 类型一、平行四边形的性质与判定 1、（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°． （1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE， ①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF． 【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数； （2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论． 【答案与解析】 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α， ∴∠BAC=180°﹣2α， ∵∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠DAE=2α， ∵AE=AD， ∴∠ADE=90°﹣α； （2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥EF． ∴∠EDC=∠ABC=α， 由（1）知，∠ADE=90°﹣α， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°， ∴AD⊥BC． ∵AB=AC， ∴BD=CD； ②证明：∵AB=AC，∠ABC=α， ∴∠C=∠B=α． ∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BF，AE=BF． ∴∠EAC=∠C=α， 由（1）知，∠DAE=2α， ∴∠DAC=α， ∴∠DAC=∠C． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD． ∴BD=CF． 【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键． 举一反三： 【变式】分别以口ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF． （1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【答案】 解：（1）GF⊥EF，GF＝EF成立；  ∵四边形ABCD是平行四边形，  ∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，  ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，  ∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，  ∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，  ∠EAF＝360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD＝270°﹣（180°﹣∠CDA）＝90°＋∠CDA，  ∴∠FDG＝∠EAF，  ∵在△EAF和△GDF中，  ，  ∴△EAF≌△GDF（SAS），  ∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA， ∴∠GFE＝90°， ∴GF⊥EF；   （2）GF⊥EF，GF＝EF成立；  理由：∵四边形ABCD是平行四边形，  ∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，  ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，  ∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，  ∴∠BAE＋∠FAD＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°， ∴∠EAF＋∠CDF＝45°，  ∵∠CDF＋∠FDG＝45°，  ∴∠FDG＝∠EAF，  ∵在△EAF和△GDF中， ，  ∴△EAF≌△GDF（SAS），  ∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，  ∴∠GFE＝90°，  ∴GF⊥EF． 2、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案与解析】 解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF， ∵APBE， ∴四边形APEB是平行四边形， ∴PE∥AB，PE＝AB， ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴EF∥BD，EF＝BD， 即EF∥AB， ∴P，E，F共线， 设BD＝，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4， 则PF＝PE－EF＝3， ∵PH∥BC， ∴， ∵PF∥AB， ∴四边形BFPH是平行四边形， ∴BH＝PF＝3， ∵＝BH：AB＝3：4＝3：4， ∴＝3：4． 【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比． 举一反三： 【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积． 【答案】 证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴∠BAC＝90° ∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形， ∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC , ∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60° ∴∠1＝∠2 易证△BAC≌△BDF（SAS）， ∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90° 同理可证△BAC≌△FEC ∴AB＝AD＝EF＝3 ∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF∥AE，DF⊥BD 延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点 ∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×＝6. 3、在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（　　） A．2 B． C． D．15 【思路点拨】可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解． 【答案】C； 【解析】 解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB＝5，BC＝3． AB边上的高是3，BC边上的高是5． 则S＝5•3＝3•5．即＝＝． △AA4D2与△B2CC4全等，B2C＝BC＝，B2C边上的高是•5＝4． 则△AA4D2和△B2CC4的面积是2＝． 同理△D2C4D与△A4BB2的面积是． 则四边形A4B2C4D2的面积是S－－－－＝，即＝1， 解得S＝． 【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键． 类型二、三角形的中位线 4、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（　　） A. B. C.3 D.4 【答案】C； 【解析】 解：易证△ABQ≌△EBQ, AB＝BE，Q为AE中点， △ACP≌△DCP, AC＝CD，P为AD中点， ∴PQ∥DE,PQ＝DE， ∵AB＋AC＋BC＝26，BC＝10， ∴AB＋AC＝BE＋CD＝16＝BD＋DE＋DE＋EC＝BC＋DE， ∴DE＝6，PQ＝DE＝3. 【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形． 类型三、多边形内角和与外角和 5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（　　） A．180° B．720° C．1080° D．540° 【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据边形的外角和为360°计算出多边形的边数，然后根据边形的内角和定理计算即可． 【答案】B； 【解析】 解：设多边形的边数为， ∵多边形的每个外角都等于60°， ∴＝360°÷60°＝6， ∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°． 【总结升华】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和＝（－2）•180°；也考查了边形的外角和为360°． 举一反三： 【变式】（2015春•宜阳县期末）一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小． 【答案】解：设多边形的边数为x，由题意有 （x﹣2）•180＞2680， 解得x＞16， 因而多边形的边数是17， 则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°． 6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下： （甲） 连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求 （乙） 先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可． 【答案】C； 【解析】 解：甲正确，乙错误， 理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°， AB＝BC＝CD＝DE＝AE， ∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°－108°）＝36°， 同理∠CBD＝∠CDB＝36°， ∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°， ∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A， ∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确； ∵∠BAE＝108°， ∴∠BAM＝∠EAM＝54°， ∵AB＝AE＝AP， ∴∠ABP＝∠APB＝×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°， ∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°， 即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE， ∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误； 【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 学魁网