中考数学专题复习全攻略：第一节平移、对称、旋转与位似.doc

第一节 平移、对称、旋转与位似 知识点一：图形变换 1.图形的轴对称 （1）定义： ①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称． ②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 注意：常见的轴对称图形：（1）①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。 （2）等腰三角形、菱形 、矩形、正方形、正六边形、圆等. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 变式练习1：下列图形中，不是轴对称图形的是(　　) 【解析】C　轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，称这个图形是轴对称图形．A选项和B选项既是轴对称图形也是中心对称图形．C选项是中心对称图形，不是轴对称图形，D选项是轴对称图形，所以选C 变式练习2：下列图标中是轴对称图形的是(　　) 【解析】D将一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，利用轴对称图形的定义可知D是轴对称图形． 变式练习3：如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A(－5，1)，B(－2，3)，线段CD的两个端点是C(－5，－1)，D(－2，－3)． (1)线段AB与线段CD关于某直线对称，则对称轴是__x轴__； (2)平移线段AB得到线段A1B1，若点A的对应点A1的坐标为(1，2)，画出平移后的线段A1B1，并写出点B1的坐标为__(4，4)__． 解：(1)∵A(－5，1)，C(－5，－1)，∴AC⊥x轴，且A，C两点到x轴的距离相等，同理BD⊥x轴，且B，D两点到x轴的距离相等，∴线段AB和线段CD关于x轴对称，故答案为x轴 (2)∵A(－5，1)，A1(1，2)，∴相当于把A点先向右平移6个单位，再向上平移1个单位，∵B(－2，3)，∴平移后得到B1的坐标为(4，4)，画图略 2.图形的平移 （1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． 注意：平移不改变图形的形状与大小．它只改变图形在平面中的位置. （2）性质： ①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行； ②平移后 ，对应角相等且对应角的两边分 别平行、方向相同； ③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等． 变式练习：如图，在平面直角坐标系中，将点M(2，1)向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为( A ) A．(2，－1) B．(2，3) C．(0，1) D．(4，1) 3.图形的旋转 （1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角． （2）特征：经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 （3）性质： ①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度； ②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等； ③对应点到旋转中心 的距离相等． 变式练习1：如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是( B ) A．50° B．60° C．70° D．80° , 变式练习2：如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于________． 第2题图 【解析】如解图，设AB与B′C′交于点F，BC与AC′交于点E，BC与B′C′交于点D.∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45° 得到△AB′C′，∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°， ∵∠BAC＝90°，∴∠C′AB＝45°，∠C＝∠C′＝∠B＝45°， ∴∠C′ED＝90°，∴△AEB和△C′ED均为等腰直角三角形，∴AE＝BE，∵AB＝AC＝，∴AE2＋BE2＝()2＝2，∴AE＝AF＝BE＝1，∴DF＝BF＝－1，∴S△AEB＝×1×1＝，S△DFB＝×(－1)×(－1)＝， ∴S阴影＝S△AEB－ S△DFB＝－＝－1. 变式练习3：如图①，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°.固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图②. (1)问：始终与△AGC相似的三角形有________及________； (2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图②的情形说明理由)； (3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ 第3题图 解：(1)△HAB，△HGA； 【解法提示】∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合， ∴∠H＋∠HAC＝45°，∠HAC＋∠CAG＝45°， ∴∠H＝∠CAG， ∵∠ACG＝∠B＝45°， ∴△AGC∽△HAB， ∴同理可得出：始终与△AGC相似的三角形还有△HGA. (2)由(1)知△AGC∽△HAB， ∴＝，即， ∴y＝ (0<x<9)； (3)由(1)知△AGC∽△HGA， ∴要使得△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可． ①如解图①，∠GAC＝∠ACG＝45°的情况，此时△AGC为等腰直角三角形， ∴x＝AC·sin∠GAC＝AC·sin45°＝； ②∠AGC＝∠ACG＝45°的情况，显然此时点G和点B重合． ∴x＝BC＝＝9； ③如解图②，∠AGC＝∠GAC＝45°的情况， 此时就有x＝CG＝AC＝9. 综上所述，当x＝9或或9时，△AGH是等腰三角形． 第3题解图 变式练习4：在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为(2，1)，则点B的对应点B1的坐标为( D ) A．(1，2) B．(2，－1) C．(－2，1) D．(－2，－1) 4.图形的中心对称 （1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心． （2）①关于中心对称的两个图形是全等形； ②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等 . 变式练习1：下列所述图形中，是中心对称图形的是(　　) A. 直角三角形　　　　　　　　　　　B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正三角形 【解析】B逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A 不是中心对称图形 × B 是中心对称图形 √ C 是轴对称图形，不是中心对称图形 × D 是轴对称图形，不是中心对称图形 × 变式练习2：在下列交通标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 【解析】C逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 × B 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形 × C 既是中心对称图形，也是轴对称图形 √ D 不是中心对称图形，是轴对称图形 × 变式练习3：在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为__(－5，－3)__． 5.图形的位似 （1）如果两个多边形不仅相似，而且 对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （2）性质： ①对应角相等，对应边之比等于位似比； ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． （3）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心， ②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 变式练习1：将图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是(　　) 【解析】∵题中的箭头要缩小到原来的，∴箭头的长、宽都要缩小到原来的，故选A. 知识点二 ：网格作图 坐标与图形的位置及运动 （1）图形的平移变换 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）图形关于坐标轴成对称变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数； 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等． （3）图形关于原点成中心对称 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 注意：在平面直角坐标系中或网格中作已知图形的变换是近几年安徽必考题型，注意根据图形变化的性质先确定图形变换后的对应点，然后顺次连接对应点即可. 图形关于原点成位似变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 变式练习1：如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为AC上的一个动点，求EF＋BF的最小值． 解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD.连接DE交AC于点F，连接BF，则BF＝DF，又∵∠DAB＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴DE⊥AB，在Rt△AED中，由勾股定理有：DE＝＝＝3，而DE＝DF＋EF＝EF＋BF＝3，即EF＋BF的最小值是3. 变式练习2：平面直角坐标系中，有一条线段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原点O为位似中心，相似比为2：1，将线段AB放大为线段A′B′，那么A′点的坐标为（4，2）或（-4，-2）.