一元一次方程应用（二）“希望工程”义演与追赶小明（提高）知识讲解.doc

馨雅资源网 一元一次方程应用（二）---- “希望工程”义演与追赶小明（提高）知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1.能够分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题；体会对同一问题设不同未知数的算法多样化； 2.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力； 3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想. 【要点梳理】 要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系． （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可． （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、“希望工程”义演（分配问题） 分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等. 这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识. 要点诠释： 分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系. 要点三、追赶小明（行程问题） （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 要点四、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【典型例题】 类型一、“希望工程”义演（分配问题） 1．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套? 【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】 解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为件，做裤子的件数为件，则有： x＝450， 750-x＝750-450＝300(m)， （套） 答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套． 【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数． 举一反三： 【变式】某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人? 【答案】 解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得： 5x＝3(120-x)， 解得x＝45． 120-45＝75(人)． 答：应安排45人挖土，75人运土． 类型二、行程问题 1.车过桥问题 2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度． 【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】 解：设火车车身长为xm，根据题意，得： ， 解得：x＝300， 所以． 答：火车的长度是300m，车速是30m/s． 【总结升华】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)： (1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长． (2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三： 【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得： ， 解得：x＝3 答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟． 2.相遇问题（相向问题） 3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程. 【答案与解析】 解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得： 解得：108． 答：A、B两地间的路程为108千米. 【总结升华】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三： 【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】 【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离. 【答案】 解：设A、B两站间的距离为x km，由题意得： 解得：x=122 答： A、B两站间的距离为122km. 3.追及问题（同向问题） 4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】 解：设卡车的速度为x千米/时，由题意得： 解得： x=24 答：卡车的速度为24千米/时． 【总结升华】采用“线段示意图”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间． 4.航行问题（顺逆流问题） 5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离． 【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游． 【答案与解析】 解：设A、B两地间的距离为x千米． (1)当C地在A、B两地之间时，依题意得． 解这个方程得：x＝20 (2)当C地在A地上游时，依题意得： 解这个方程得： 答：A、B两地间的距离为20千米或千米． 【总结升华】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线段示意图”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题． 5.环形问题 6．（2015春•海南校级月考）甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？ 【思路点拨】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程﹣乙路程=400，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=400． 【答案与解析】 解：设二人同时同地同向出发，x分钟后二人相遇，则： 240x﹣200x=400， 解得：x=10． 设两人背向而行，y分钟后相遇，则： 240y+200y=400， 解得：y=． 答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇． 【总结升华】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程=环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程=环形跑道的长度． 举一反三： 【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上? 【答案】 解：设乙追上甲用了x分钟，则有： 72x-65x＝3×90 而 答：乙第一次追上甲时在AD边上. 类型三、工程问题 7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】 解：设再过x小时可把水注满．由题意得： 解得：． 答：打开丙管后小时可把水放满． 【总结升华】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1． 举一反三： 【变式】（2015春•沙坪坝区期末）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成，那么乙还要多少小时完成？ 【答案】 解：设乙还要x小时完成，根据题意得： ， 解得：x=4． 答：余下的任务由乙单独完成，那么乙还要4小时完成． 学魁网