2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第5讲一次方程 知识归纳＋真题解析（2017年）.doc

【知识归纳】 1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果，那么 ； ② 如果，那么 ；如果，那么 . 2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 . 3. 解一元一次方程的步骤： ①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 4．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 5. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 6．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解. 7．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 8. 解二元一次方程的方法： 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 【知识归纳答案】 1．相等关 ⑵ ； ② ； . 2. ⑴等式，未知数的值， ⑵ ，一，1 ， ax+b=0 、 3.①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 4两个，2 5.二元一次方程 6．一组，无数 7．公共解 8.代入消元和加减 消元法两种. 真题解析 1．设x，y，c是实数，（　　） A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc C．若x=y，则 D．若，则2x=3y 【考点】83：等式的性质． 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘以不同的数，故D不符合题意； 故选：B． 　 2．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【考点】85：一元一次方程的解． 【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值． 【解答】解：将x=1代入2x﹣a=0中， ∴2﹣a=0， ∴a=2 故选（B） 　 3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　　） A．22x=16（27﹣x） B．16x=22（27﹣x） C．2×16x=22（27﹣x） D．2×22x=16（27﹣x） 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程． 【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母， ∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， ∴可得2×22x=16（27﹣x）． 故选D． 　 4．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　） A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 D．（1+10%）x=330 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可． 【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得 （1+10%）x=330． 故选D． 　 5．某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：200×﹣80=80×50%， 解得：x=6． 故选B． 　 6．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？（　　） A．140元 B．150元 C．160元 D．200元 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解． 【解答】解：设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元， 则有：20+0.8x=x﹣10 解得：x=150 即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元． 故选：B． 　 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（　　） A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答． 【解答】解：设第一天走了x里， 依题意得：x+x+x+x+x+x=378， 解得x=192． 则（）5x=（）5×192=6（里）． 故选：C． 　 8．把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（　　） A． B． C． D． 【考点】83：等式的性质． 【分析】利用等式的基本性质即可解决问题． 【解答】解：A、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以np得， =，所以A正确； B、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以mq得， =，B正确； C、把mn=pq（mn≠0）两边同时除以mp，得=，所以C正确； 利用排除法可知D错误． 故选D． 　 二．填空题（共5小题） 9．若，则=　　． 【考点】83：等式的性质． 【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案． 【解答】解：根据等式的性质：两边都加1，， 则=， 故答案为：． 　 10．已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为　﹣7　． 【考点】85：一元一次方程的解． 【分析】把x=1代入方程计算即可求出a的值． 【解答】解：把x=1代入方程得：2+a+5=0， 解得：a=﹣7， 故答案为：﹣7． 　 11．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为　4　元． 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可． 【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得 80+x=120×0.7， 解得x=4． 答：该商品每件销售利润为4元． 故答案为4． 　 12．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有　46　两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语） 学科 网 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可． 【解答】解：设有x人，依题意有 7x+4=9x﹣8， 解得x=6， 7x+4=42+4=46． 答：所分的银子共有46两． 故答案为：46． 　 13．已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为　12　岁． 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄． 【解答】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁， 根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1， 解得：x=4， ∴36﹣x﹣x=28， ∴40﹣28=12（岁）． 故答案为：12． 　 三．解答题（共9小题） 14．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？ 译文为： 现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可． 【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4． 解得x=7， ∴8x﹣3=53， 答：共有7人，这个物品的价格是53元． 　 15．解方程：． 【考点】86：解一元一次方程． 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去分母得：2x﹣3（30﹣x）=60， 去括号得：2x﹣90+3x=60， 移项合并得：5x=150， 解得：x=30． 　 16．如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm． （1）请直接写出第5节套管的长度； （2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值． 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论； （2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×2×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）． （2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm）， 设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm， 根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311， 即：320﹣9x=311， 解得：x=1． 答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm． 　 17．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为　40　元，每件乙种商品利润率为　60%　 （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】（1）设甲的进价为x，根据甲的利润率为50%，求出x的值； （2）设甲x件，则乙（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲的进价为x， 则（60﹣x）÷x=50%， 解得：x=40． 故甲的进价为40元/件； 乙商品的利润率为（80﹣50）÷50=60%． （2）设甲x件，则乙（50﹣x）件， 由题意得，40x+50（50﹣x）=2100， 解得：x=40． 即购进甲商品40件，乙商品10件． （3）设小华打折前应付款为y， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得，0.9y=504， 解得：y=560， ②打折前购物金额超过600元， 600×0.82+（y﹣600）×0.3=504， 解得：y=640， 综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件． 　 18．我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28和阅A18原有教师人数各多少人？ 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人，结合“从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后月B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人”列出方程并解答． 【解答】解：设阅A18原有教师x人，则阅B28原有教师3x人， 依题意得：3x﹣12=x+3， 解得x=6． 所以3x=18． 答：阅A18原有教师6人，则阅B28原有教师18人． 　学 科 网 19．小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84天，你知道我们几号出去的么？”小王说“我暑假去舅舅家住了7天，日历数再加月份数也是84，你能猜出我是几月几号回的家？试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．（提示：7月1日﹣9月1日暑假） 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】根据题意设小赵是x号出去的那么建立等量关系x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84，小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得，同上建立等量关系y+（y﹣1）+（y﹣2）+（y﹣3）+（y﹣4）+（y﹣5）+（y﹣6）=84． 【解答】解：设小赵是x号出去的，那么列出方程式x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+（x+6）=84， 简化7x+21=84， 解得x=9． 答：小赵是9号出去的． 设小王外出一周的中间一天是y号，根据题意得： 7y+7=84， 解得y=11； 回来的日期是： 11+3=14（号）． 或7y+8=84， 解得 y=10，不合题意舍去． 答：小赵是9号出去的，小王是7月14号回来的． 　 20．A、B两城相距600千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为毎小时100千米，设客车出时间为t． 探究 若客车、出租车距B城的距离分别为y1、y2，写出y1、y2关于t的函数关系式，并计算当y1=200千米时 y2的値． 发现 设点C是A城与B城的中点， （1）哪个车会先到达C？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？ （2）若两车扣相距100千米时，求时间t． 决策 己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案： 方案一：继续乘坐出租车，到达A城后立刻返回B城（设出租车调头时间忽略不计）； 方案二：乘坐客车返回城． 试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？ 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】探究：根据路程=速度×时间，即可得出y1、y2关于t的函数关系式，根据关系式算出y1=200千米时的时间t，将t代入y2的解析式中即可得出结论； 发现：（1）根据出租车的速度大于客车的速度可得出出租车先到达C点，套用（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t1和t2，二者做差即可得出结论；（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论； 决策：根据时间=路程÷速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论． 【解答】解：探究：由已知，得y1=﹣80t+600， 令y1=0，即﹣80t+600=0，解得t=， 故y1=﹣80t+600（0≤t≤）． y2=100t， 令y2=600，即100t=600，解得t=6， 故y2=100t（0≤t≤6）． 当y1=200时，即200=﹣80t+600，解得t=5， 当t=5时，y2=100×5=500． 故当y1=200千米时y2的値为500． 发现：（1）∵100＞60， ∴出租车先到达C． 客车到达C点需要的时间：600﹣80t1=，解得t1=； 出租车到达C点需要的时间：100t2=，解得t2=3． ﹣3=（小时）． 所以出租车到达C后再经过小时，客车会到达C． （2）两车相距100千米，分两种情况： ①y1﹣y2=100，即600﹣80t﹣100t=100， 解得：t=； ②y2﹣y1=100，即100t﹣=100， 解得：t=． 综上可知：两车相距100千米时，时间t为或小时． 决策：两车相遇，即80t+100t=600，解得t=， 此时AD=80×=（千米），BD=600﹣=（千米）． 方案一：t1=（+600）÷100=（小时）； 方案二：t2=÷80=（小时）． ∵t1＞t2， ∴方案二更快． 　 21．列方程解应用题： 我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？ 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设良马x天能够追上驽马． 根据题意得：240x=150×（12+x）， 解得：x=20． 答：良马20天能够追上驽马． 　 22．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多12元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少元？ 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】根据题意可以设出未知数，列出相应的方程，从而可以求得A，B两种型号计算器的单价． 【解答】解：设某品牌A型号计算器的单价为x元， 5x=7（x﹣12）， 解得，x=42， ∴x﹣12=30， 答：A，B两种型号计算器的单价分别是42元，30元．