2018届中考数学提升练习：专题(五) 一次函数的图象与性质的应用.doc

专题提升(五)　一次函数的图象与性质的应用 类型之一　一次函数的图象的应用 【经典母题】 　如图Z5－1，由图象得的解是 ． 图Z5－1 【思想方法】　(1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标； (2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想． 【中考变形】 1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题： 图Z5－2 (1)高铁的平均速度是每小时多少千米？ (2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？[来源:学科网ZXXK] (3)若乐乐要提前18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？ 解：(1)v＝＝240(km/h)， 答：高铁的平均速度为240 km/h； (2)设乐乐离开衢州的距离y与时间t的函数关系为y＝kt，则1.5k＝120，k＝80，∴函数表达式为y＝80t， 当t＝2时，y＝160，216－160＝56(km)． 答：乐乐距离游乐园还有56 km； (3)把y＝216代入y＝80t，得t＝2.7， 2．7－＝2.4(h)，＝90(km/h)． 答：乐乐要提前18 min到达游乐园，私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示． 图Z5－3 (1)求点A的纵坐标m的值； (2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程． 解：(1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min)， 点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5. 答：点A的纵坐标m的值为4.5； (2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min)， 出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min)， 出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min)， 两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)． 答：小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为1.5 km.[来源:学*科*网] 3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h与乙相遇… 请你帮助方成同学解决以下问题： (1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式； (2)当20＜y＜30时，求t的取值范围； (3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间t的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象； (4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过 h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？ 图Z5－4 解：(1)设直线BC的函数表达式为y＝kt＋b， 把，分别代入，得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝40t－60. 设直线CD的函数表达式为y1＝k1t＋b1，[来源:学科网ZXXK] 把，(4，0)分别代入，得 解得∴直线CD的函数表达式为y1＝－20t＋80； (2)设甲的速度为a km/h，乙的速度为b km/h，根据题意，得 解得 ∴甲的速度为60 km/h，乙的速度为20 km/h， ∴OA的函数表达式为y＝20t(0≤t≤1)， ∴点A的纵坐标为20，OA段，AB段没有符合条件的t值； 当20＜y＜30时，即20＜40t－60＜30或20＜－20t＋80＜30，解得2＜t＜或＜t＜3； (3)根据题意，得s甲＝60t－60， s乙＝20t(0≤t≤4)，所画图象如答图所示； 中考变形3答图 (4)当t＝时，s乙＝，此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙＝－40t＋80(0≤t≤2)， 当－40t＋80＝60t－60时，解得t＝， 答：丙出发 h与甲相遇． 【中考预测】 [2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5－5所示． 图Z5－5 (1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式__y＝60x(0＜x≤6)__； (2)求乙组加工零件总量a的值； (3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 解：(1)∵图象经过原点及(6，360)， ∴设表达式为y＝kx，∴6k＝360，解得k＝60， ∴y＝60x(0＜x≤6)； (2)乙2 h加工100件， ∴乙的加工速度是每小时50件， ∴更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工100件， a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300； (3)乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y＝100＋100(x－2.8)＝100x－180， 当0＜x≤2时，60x＋50x＝300， 解得x＝(不合题意，舍去)； 当2＜x≤2.8时，100＋60x＝300， 解得x＝(不合题意，舍去)； 当2.8＜x≤4.8时，60x＋100x－180＝300， 解得x＝3，符合题意． 答：经过3 h恰好装满第1箱． 类型之二　一次函数的性质的应用 【经典母题】 某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费． (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？ 解：(1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500， 乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x；[来源:学科网ZXXK] (2)图略； (3)当x＝800时， y甲＝x＋1 500＝800＋1 500＝2 300(元)， y乙＝2.5x＝2.5×800＝2 000(元)； 当y＝3 000时， y甲＝x＋1 500＝3 000，解得x＝1 500， y乙＝2.5x＝3 000，解得x＝1 200， 答：印制800份材料时，选择乙厂合算；花费3 000元时，甲厂印制的宣传材料多一些． 【思想方法】　解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想． 【中考变形】 1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价(元/部) 4 000 2 500 售价(元/部) 4 300 3 000 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元[毛利润＝(售价－进价)×销售量]． (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润． 解：(1)设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部， 由题意，得解得 答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部； (2)设甲种手机的购进数量减少a部，则乙种手机的购进数量增加2a部， 由题意，得0.4×(20－a)＋0.25×(30＋2a)≤16，解得a≤5.[来源:学.科.网Z.X.X.K] 设全部销售后获得的毛利润为W万元，由题意，得 W＝0.03×(20－a)＋0.05×(30＋2a)＝0.07a＋2.1. ∵k＝0.07＞0，∴W随a的增大而增大， ∴当a＝5时，W最大＝2.45万元． 答：该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部可使获得的毛利润最大，最大毛利润为2.45万元． 2．[2017·绵阳]江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1 h可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1 h可以收割小麦2.5公顷． (1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小麦各多少公顷？ (2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元．两种型号的收割机一共有10台，要求2 h完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元．有几种方案？请指出费用最低的一种，并求出相应的费用． 解：(1)设1台大型收割机每小时收割小麦a公顷，1台小型收割机每小时收割小麦b公顷， 根据题意，得解得 答：1台大型收割机每小时收割小麦0.5公顷，1台小型收割机每小时收割小麦0.3公顷． (2)设需要大型收割机x台，则需要小型收割机(10－x)台，根据题意， 得解得5≤x≤7， 又∵x取整数，∴x＝5，6，7，一共有3种方案． 设费用为W元，则W＝600x＋400(10－x)＝200x＋4 000.由一次函数性质知，W随x增大而增大．∴当x＝5时，W值最小，即大型收割机5台，小型收割机5台时，费用最低， 此时，所有费用W＝600×5＋400×5＝5 000(元)． 答：采用大型、小型收割机各5台时费用最低，最低费用为5 000元． 【中考预测】 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 解：(1)设每台A型电脑销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元， 根据题意，得解得 答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； (2)①根据题意，得y＝100x＋150×(100－x)， 即y＝－50x＋15 000. ②根据题意，得100－x≤2x，解得x≥33， ∵y＝－50x＋15 000，∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y有最大值，则100－x＝66. 答：商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时，销售利润最大．