2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）.doc

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组） 一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值． A．16 B．17 C．18 D．19 2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　　）分钟． A．6 B．8 C．10 D．12 3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米． A．14 B．16 C．18 D．20 4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　） A．2986 B．2858 C．2672 D．2754 5．（10分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　） A．8615 B．2016 C．4023 D．2017 6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的． 这句话里有（　　）个数大于1，有（　　）个数大于2，有（　　）个数大于3，有（　　）个数大于4． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题10分，共40分） 7．（10分）æ若[﹣]×÷+2.25＝4，那么 A 的值是　 　． 8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　 　种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是　 　平方厘米． 10．（10分）若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　 　． 2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（　　）种可能的取值． A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】两个小数的整数部分分别是7和10，那么这两个小数的积的整数部分最小是7×10＝70；这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11＝88，所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，单不包括88，共有18种可能，据此解答． 【解答】解：根据题意与分析： 这两个小数的积的整数部分最小是7×10＝70； 这两个小数的积的整数部分最大不超过8×11＝88； 所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，但不包括88， 共有：88﹣70＝18种可能； 答：这两个有限小数的积的整数部分有18种可能的取值． 故选：C． 2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（　　）分钟． A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】总共用时是40，去掉换乘6分钟．40﹣6＝34分钟．地铁是30分钟，客车是50分钟，实际是34分钟，根据时间差，比例份数法即可． 【解答】解：乘车时间是40﹣6＝34分， 假设全是地铁是30分钟，时间差是34﹣30＝4分钟， 需要调整到公交推迟4分钟， 地铁和公交的时间比是3：5， 设地铁时间是3份，公交是5份时间， 4÷（5﹣3）＝2， 公交时间为5×2＝10分钟． 故选：C． 3．（10分）将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（　　）平方厘米． A．14 B．16 C．18 D．20 【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1＝ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab＝3ab＝3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab＝5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9＝15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15＝（平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：3+7+11＝21，然后进一步解答即可． 【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1＝ab， 那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab＝3ab＝3， 同理，相邻的空白部分的面积就是5ab＝5， 依此规律，面积依次下去为7，9，11， 则空白部分的面积总和是1+5+9＝15， 而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15＝（平方厘米）； 那么阴影部分面积总和是：3+7+11＝21， 则实际面积是：21×＝14（平方厘米）； 答：阴影部分面积总和是14平方厘米． 故选：A． 4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（　　） A．2986 B．2858 C．2672 D．2754 【分析】根据特殊情况入手，结果中的数字2如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾，那么就是没有进位．根据已知数字进行分析没有矛盾的就是符合题意的． 【解答】解：首先根据结果中的首位数字是2，如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾那么乘数中的三位数的首位只能是1或者2，因为乘数中有7而且结果是三位数，那么乘数中三位数首位只能是1． 那么已知数字7前面只能是2，根据已知数字0再推出乘数三位数中的十位数字是0． 再根据乘数中的数字7与三位数相乘有1的进位，尾数只能是2． 所以是102×27＝2754． 故选：D． 5．（10分）在序列 20170…中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（　　） A．8615 B．2016 C．4023 D．2017 【分析】分析结果中的奇数偶数的性质，如果四个数字中出现一个奇数，那么下一个数字的结果一定是奇数，则2个奇数加两个偶数结果就是偶数．分析枚举找到规律即可． 【解答】解：枚举法 0170的数字和是8下一个数字就是8． 1708的数字和是16下一个数字就是6． 7086的数字和是21下一个数字就是1． 0861的数字和是15下一个数字是5． 8615的数字和是20下一个数字是0． 6150的数字和为12下一个数字就是2． 20170861502… 规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个． 故选：B． 6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（　　）种填法使得方框中话是正确的． 这句话里有（　　）个数大于1，有（　　）个数大于2，有（　　）个数大于3，有（　　）个数大于4． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先考虑共4个空的数字不相同而且还有1，2，3，4一共是8个数字，如果有0和1，那么至少大于1的数字还有5个，大于4的数字最多是4个，最少是1个，根据这些条件进行枚举筛选． 【解答】解：依题意可知： 设有a个数是大于1的，有b个数是大于2的，有c个数是大于3的，有d个数是大于4的． 因为1，2，3，4各有一个，还有4个空，那么有a＞b＞c＞d．且a≥5，1≤d≤4 ①若d＝4，那么在这8个数字中需要有4个数字大于4，目前只有a，b，c是大于4的不满足条件． ②若d＝3时，那么在这8个数中需要有3个数是大于4的，a，b，c都是大于4的满足条件．则大于3的数字共个4．与c＞4矛盾 ③若d＝2时，则a，b大于4，c不大于4，c则是取3或者4，分析a，b，c，d依次是7，5，3，2或者7，5，4，2 ④若d＝1时，则a是大于4的，b，c是不大于4的，由3，4，a都是大于2的，所以b≥3，则大于2的数共4个，所以b＝4，此时大于3的数有a，b，4此时c≥3，那么大于2的数字共5个，矛盾 故选：B． 二、填空题（每小题10分，共40分） 7．（10分）æ若[﹣]×÷+2.25＝4，那么 A 的值是　4　． 【分析】先把繁分数化简，求出关于未知数A的方程，然后根据等式的性质解方程即可． 【解答】解：[﹣]×÷+2.25＝4 [﹣]×÷+2.25＝4 [﹣]×÷＝ [﹣]×＝ ﹣＝× ﹣＝ ＝+ ＝ 24＝6A A＝4 故答案为：4． 8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有　10　种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）＝30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5＝15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15＝15，平均每个多15÷5＝3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况． 【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）＝30， 原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5＝15， 新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15＝15， 平均每个多15÷5＝3， 则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8； 观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4＝1+3，最大的自然数8只能是5+3，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合： 因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有2×5＝10种； 答：共有 10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 故答案为：10． 9．（10分）如图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，则ABCD的面积是　180　平方厘米． 【分析】如图，连接EG，，根据三角形的面积和底的正比关系，判断出S△BDE、S△DEF、S△BGH与S四边形ABCD的关系，推出S四边形EHGF与S四边形ABCD的关系，再根据四边形EHGF的面积是15平方厘米，求出ABCD的面积是多少即可． 【解答】解：如图，连接EG，， 因为E为CD的中点， 所以DE＝CD， 所以S△BDE＝S△ADE＝S四边形ABCD； 因为AC和BD的交点为G， 所以G为AC的中点， 因为E为CD的中点， 所以EG∥AD，且＝， 所以＝＝， 所以S△DEF＝S△ADE＝S四边形ABCD； 因为EG∥AD，且AD∥BC， 所以EG∥BC，＝， 所以＝＝， 所以S△BGH＝S△BCG＝S四边形ABCD； 所以S四边形EHGF＝S△BDE﹣S△DEF﹣S△BGH＝S四边形ABCD， 所以S四边形ABCD＝S四边形EHGF×12＝15×12＝180（平方厘米） 答：ABCD的面积是180平方厘米． 故答案为：180． 10．（10分）若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d﹣r的最大值是　35　． 【分析】根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除，则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）；然后分别用725除以d的可能值，求出d﹣r的值，选取d﹣r的最大值即可． 【解答】解：根据题意可得，2017﹣r，1029﹣r，725﹣r，均能被d整除， 则（2017﹣r）﹣（1029﹣r），（2017﹣r）﹣（725﹣r），（1029﹣r）﹣（725﹣r），这三个数也能被d整除，即988，1292，304均能被d整除， 988＝2×2×19×13 1292＝2×2×19×17 304＝2×2×2×2×19 所以三个数的最大公因数是：2×2×19＝76， d为76的因数，即d的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成0）， 当d＝76时，此时：725÷76＝9…41，即r＝41，即此时d﹣r＝76﹣41＝35； 当d＝38时，此时：725÷38＝19…3，即r＝3，即此时d﹣r＝38﹣3＝35； 当d＝19时，此时：725÷19＝38…3，即r＝3，即此时d﹣r＝19﹣3＝16； 当d＝4时，此时：725÷4＝182…1，即r＝1，即此时d﹣r＝4﹣1＝3； 当d＝2时，此时：725÷2＝362…1，即r＝1，即此时d﹣r＝2﹣1＝1； 当d＝1时，此时：725÷1＝725，即r＝0，即此时d﹣r＝1﹣0＝1； 则，d﹣r的最大值是35． 故答案为：35． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 11:03:25；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第10页（共10页）