2013-2014学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2013-2014学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内. 1．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，2 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．（）2＝4 C．×＝ D．÷＝3 4．（3分）要比较两名同学在五次数学测试中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是（　　） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 5．（3分）①平行四边形的两组对边分别相等； ②平行四边形的两组对角分别相等； ③平行四边形的两组对边分别平行； ④平行四边形的对角线互相平分． 上述定理中，其逆命题正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）菱形ABCD的对角线AC＝5，BD＝10，则该菱形的面积为（　　） A．50 B．25 C． D．12.5 7．（3分）若一次函数y＝x+4的图象上有两点A（﹣，y1）、B（1，y2），则下列说法正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示△APD的面积S随点P的运动时间t的变化关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是　 　． 10．（3分）计算：＝　 　． 11．（3分）在某校举办的队列比赛中，A班的单项成绩如下表： 项目 着装 队形 精神风貌 成绩（分） 90 94 92 若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是　 　分． 12．（3分）写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，5），则这个一次函数可以是　 　． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB，若AC＝2，则DE的长为　 　． 14．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　 　． 15．（3分）某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系如图，当总用水量达到7000米3时，该经济作物种植时间是　 　天． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　 　． 三、解答题（17-18题每题4分，19-23题每题5分，24-25题每题6分，26题7分，共52分） 17．（4分）计算：（+）×﹣4． 18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，△ABC的角平分线AD的长为8，BD＝6，求AC的长． 19．（5分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题： （1）这八天中，每日参观人数的众数是　 　，中位数是　 　，平均数是　 　； （2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待多少参观者？ 20．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4． （1）求AC的长； （2）△ACD的面积为　 　． 21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）． （1）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则请你写出所有符合条件的D点坐标． （2）直接写出一个符合（1）中条件的直线AD的解析式． 22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝2x向下平移2个单位后，与一次函数y＝﹣x+3的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 23．（5分）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． （1）求证：PE＝PD； （2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论． 24．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，求NM的长． 25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），点B在x轴上，直线y＝﹣2x+a经过点B与y轴交于点C（0，6），直线AD与直线y＝﹣2x+a相交于点D（﹣1，n）． （1）求直线AD的解析式； （2）点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式． 26．（7分）在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）． （1）如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H．求证：四边形BECH是平行四边形； （2）如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD＝∠FND． 2013-2014学年北京市朝阳区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内. 1．（3分）下列二次根式为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式； B、＝，不是最简二次根式； C、不能开方，是最简二次根式； D、＝|a|，不是最简二次根式． 故选：C． 【点评】本题考查最简二次根式的判定条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．（3分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，2 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； B、∵12+12＝2≠（）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．（）2＝4 C．×＝ D．÷＝3 【分析】分别利用二次根式的性质以及二次根式乘除运算法则求出判断即可． 【解答】解：A、＝4，故此选项错误； B、（）2＝2，故此选项错误； C、×＝，此选项正确， D、÷＝，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式化简，正确掌握运算法则是解题关键． 4．（3分）要比较两名同学在五次数学测试中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是（　　） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差． 【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差． 故选：A． 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 5．（3分）①平行四边形的两组对边分别相等； ②平行四边形的两组对角分别相等； ③平行四边形的两组对边分别平行； ④平行四边形的对角线互相平分． 上述定理中，其逆命题正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别写出其逆命题，然后进行判断即可． 【解答】解：①平行四边形的两组对边分别相等的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确； ②平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确； ③平行四边形的两组对边分别平行的逆命题为两组对边分别平行的四边形为平行四边形，正确； ④平行四边形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确． 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 6．（3分）菱形ABCD的对角线AC＝5，BD＝10，则该菱形的面积为（　　） A．50 B．25 C． D．12.5 【分析】根据菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：菱形的面积＝AC•BD＝×5×10＝25． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的面积公式． 7．（3分）若一次函数y＝x+4的图象上有两点A（﹣，y1）、B（1，y2），则下列说法正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 【分析】分别把两个点的坐标代入一次函数解析式计算出y1和y2的值，然后比较大小． 【解答】解：把A（﹣，y1）、B（1，y2）分别代入y＝x+4得y1＝﹣+4＝，y2＝1+4＝5， 所以y1＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示△APD的面积S随点P的运动时间t的变化关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设点P的运动速度为v，然后分点P在AB、BC、CD上三种情况根据三角形的面积公式列式表示出S与t的函数关系式，然后选择答案即可． 【解答】解：设点P的运动速度为v， 点P在AB上时，S＝AD•AP＝vt， 点P在BC上时，S＝AD•AB，S是定值， 点P在CD上时，S＝（AB+BC+CD﹣vt）＝（AB+BC+CD）﹣vt， 所以，随着时间的增大，S先匀速变大至矩形的面积的一半，然后一段时间保持不变，再匀速变小至0， 纵观各选项，只有D选项图象符合． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置的不同，分三段讨论求解是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．（3分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是　x≥2　． 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解． 【解答】解：要使在实数范围内有意义， x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2． 【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10．（3分）计算：＝　4　． 【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算． 【解答】解：原式＝（）2﹣12， ＝5﹣1， ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算． 11．（3分）在某校举办的队列比赛中，A班的单项成绩如下表： 项目 着装 队形 精神风貌 成绩（分） 90 94 92 若按着装占10%、队形占60%、精神风貌占30%计算参赛班级的综合成绩，则A班的最后得分是　93　分． 【分析】根据加权平均数的计算方法列出算式，再进行计算即可． 【解答】解：A班的最后得分是90×10%+94×60%+92×30%＝93（分）； 故答案为：93 【点评】此题考查了加权平均数，本题易出现的错误是求90，94，92这三个数的平均数，对平均数的理解不正确． 12．（3分）写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，5），则这个一次函数可以是　y＝﹣x+5　． 【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，b＝5，于是当k取﹣1，此时一次函数解析式为y＝﹣x+5． 【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b， ∵函数图象经过第二、四象限和点（0，5）， ∴k＜0，b＝5， ∴当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x+5． 故答案为y＝﹣x+5． 【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB，若AC＝2，则DE的长为　　． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE＝AO． 【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB， ∴AD＝DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴AD＝DB＝AB， ∴△ABD为等边三角形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×2＝， 由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高， ∴DE＝AO＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键． 14．（3分）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为　x＞1　． 【分析】观察函数图象得到当x＞1时，一次函数图象在x轴上方，即y＝ax+b＞0． 【解答】解：当x＞1时，y＞0，即ax+b＞0． 故答案为x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15．（3分）某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系如图，当总用水量达到7000米3时，该经济作物种植时间是　40　天． 【分析】由图可知x＞20时，函数关系式为一次函数关系式，把（20，1000），（30，4000）代入可得相关函数关系式；若达到7000米3，代入y可得相应的天数． 【解答】解：当x＞20时，设y＝ax+b． ∵x＝20时，y＝1000，x＝30时，y＝4000． ∴， 解得． ∴y＝300x﹣5000． ∴令y＝7000，得300x﹣5000＝7000， x＝40． ∴种植时间为40天时，总用水量达到7000米3． 故答案为：40． 【点评】考查一次函数的应用；用待定系数法求函数关系式是常用的求函数关系式的方法． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　14+4　． 【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF＝∠BAC＝30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长． 【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP． 在△ABC和△GFC中 ， ∴△ABC≌△GFC（SAS）， ∴∠CGF＝∠BAC＝30°， ∴∠HGQ＝60°， ∵∠HAC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAH＝180°， 又∵AD∥QR， ∴∠RHA+∠DAH＝180°， ∴∠RHA＝∠BAC＝30°， ∴∠QHG＝60°， ∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°， ∴△QHG是等边三角形． AC＝AB•cos30°＝4×＝2， 则QH＝HA＝HG＝AC＝2， 在直角△HMA中，HM＝AH•sin60°＝2×＝3，AM＝HA•cos60°＝， 在直角△AMR中，MR＝AD＝AB＝4． ∴QR＝2+3+4＝7+2， ∴QP＝2QR＝14+4． 故答案为：14+4． 【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键． 三、解答题（17-18题每题4分，19-23题每题5分，24-25题每题6分，26题7分，共52分） 17．（4分）计算：（+）×﹣4． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算得到原式＝4+3﹣2，然后合并即可． 【解答】解：原式＝（2+）×﹣2 ＝2×+×﹣2 ＝4+3﹣2 ＝4+． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，△ABC的角平分线AD的长为8，BD＝6，求AC的长． 【分析】在三角形ABD中，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形，得到一对直角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，再由AD为公共边，利用ASA得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等即可求出AC的长． 【解答】解：在△ABD中，AD2+BD2＝82+62＝100，AB2＝102＝100， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵AD为△ABC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AB＝10． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 19．（5分）某市对在当地召开的一个大型国际展览会开幕后连续八天的每日参观人数做了一项调查，并将相关数据绘制成了如下的统计图．请根据所给信息解决下列问题： （1）这八天中，每日参观人数的众数是　24　，中位数是　30　，平均数是　30　； （2）请你估计这个为期60天的大型国际展览会共接待多少参观者？ 【分析】（1）根据统计图提供的信息和平均数、中位数、众数的定义列式计算即可； （2）用每日参观人数的平均数乘以总天数即可． 【解答】解：（1）∵24出现了2次，出现的次数最多， ∴这八天中，每日参观人数的众数是24， 把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（29+31）÷2＝30， 则中位数是：30， 平均数是（38+24+24+27+29+31+33+34）÷8＝30， 故答案为：24，30，30； （2）30×60＝1800（万） 答：这个为期60天的大型国际展览会共接待1800万参观者． 【点评】此题考查了条形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数的定义，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20．（5分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4． （1）求AC的长； （2）△ACD的面积为　14　． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质和勾股定理求出BE的长，进而得到CE的长，再利用勾股定理即可求出AC的长； （2）根据平行四边形的性质可知：△ABC≌△ACD，所以△ACD的面积可转化求△ABC的面积，问题得解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝7， ∵AE⊥BC于点E，AB＝5，AE＝4， ∴EB＝＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝4， ∴AC＝＝4； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线， ∴△ABC≌△ACD， ∴S△ABC＝S△ACD＝×4×7＝14， 故答案为：14． 【点评】此题主要考查平行四边形的性质和判定以及面积的计算以及勾股定理的运用，使学生能够灵活运用平行四边形的性质知识解决有关问题是此题考查的目的． 21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，﹣1），C（3，0）． （1）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则请你写出所有符合条件的D点坐标． （2）直接写出一个符合（1）中条件的直线AD的解析式． 【分析】（1）因为点D与A，B，C三点构成平行四边形，所以需分情况讨论： 因为A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），利用平行四边形的对边分别平行且相等，若AD∥BC，AD＝BC＝2，则符合条件的点D的坐标分别是D1（3，2）； 若平行四边形是ABDC，则对角线AD、BC互相平分，所以D2（3，﹣2），D3（﹣3，0）． （2）选择点D1（2，1）时，设直线BD1的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法可列出关于k、b的方程组，解之即可； 类似的，选择点D2（﹣2，1）和点D3（0，﹣1）时，类似①的求法，即可求出相应的解析式． 【解答】解：（1）符合条件的点D的坐标分别是D1（3，2），D2（3，﹣2），D3（﹣3，0）． （2）①选择点D1（3，2）时，设直线AD1的解析式为y＝kx+b， 由题意得，解得， ∴直线BD1的解析式为y＝x+1． 【点评】本题考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想，本题的呈现形式不落俗套，常规中有创新，在平时的教学中，随处可见这样试题：“以已知A，B，C为顶点的平行四边形有几个．”或“画出以已知A，B，C为顶点的平行四边形”．此道中档题有较好的区分度． 22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝2x向下平移2个单位后，与一次函数y＝﹣x+3的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用一次函数平移的性质得出平移后解析式，进而求出两函数交点坐标； （2）利用等腰直角三角形的性质得出图象，进而得出答案． 【解答】解：（1）将直线y＝2x向下平移2个单位后对应解析式为：y＝2x﹣2， 根据题意得出：， 解得． 故A点坐标为：（2，2）； （2）如图所示：∵P是x轴上一点，且满足△OAP是等腰直角三角形， ∴P（2，0）或（4，0）． 【点评】此题主要考查了一次函数平移变换以及等腰直角三角形的性质等知识，得出A点坐标是解题关键． 23．（5分）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB． （1）求证：PE＝PD； （2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论． 【分析】（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC＝CD，对角线平分一组对角线可得∠ACB＝∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB＝PD，然后等量代换即可得证； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC＝∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC＝∠PEB，从而得到∠PDC＝∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC＝180°求出∠PDC+∠PEC＝180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE＝90°，判断出△PDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ， ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴PB＝PD， ∵PE＝PB， ∴PE＝PD； （2）判断∠PED＝45°． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵△PBC≌△PDC， ∴∠PBC＝∠PDC， ∵PE＝PB， ∴∠PBC＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PDC+∠PEC＝180°， 在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， 又∵PE＝PD， ∴△PDE是等腰直角三角形， ∴∠PED＝45°． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）利用四边形的内角和定理求出∠EPD＝90°． 24．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB＝2CF时，求NM的长． 【分析】先根据正方形的性质得AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，∠D＝90°，则CF＝3，再根据折叠的性质得∠EAB＝∠EAN，AN＝AB＝6，由于AB∥CD，则∠FAB＝∠F，所以∠FAM＝∠F，得到MA＝MF，设AM＝x，则MF＝x，DM＝DF﹣MF＝9﹣x，在Rt△ADM中，根据勾股定理得62+（9﹣x）2＝x2，解得x＝，然后利用MN＝AM﹣AN求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，∠D＝90°， ∵AB＝2CF， ∴CF＝3， ∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处， ∴∠EAB＝∠EAN，AN＝AB＝6， ∵AB∥CD， ∴∠FAB＝∠F， ∴∠FAM＝∠F， ∴MA＝MF， 设AM＝x，则MF＝x，DM＝DF﹣MF＝9﹣x， 在Rt△ADM中， ∵AD2+DM2＝AM2， ∴62+（9﹣x）2＝x2，解得x＝， ∴MN＝AM﹣AN＝﹣6＝． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质和勾股定理． 25．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），点B在x轴上，直线y＝﹣2x+a经过点B与y轴交于点C（0，6），直线AD与直线y＝﹣2x+a相交于点D（﹣1，n）． （1）求直线AD的解析式； （2）点M是直线y＝﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式． 【分析】（1）首先将点C和点D的坐标代入求得两点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）首先求得点B的坐标，进而求得线段AB的长，根据点M在直线y＝﹣2x+6上设出点M的坐标，分m大于3和小于3两种情况分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+a经过点B与y轴交于点C（0，6）， ∴a＝6， ∴y＝﹣2x+6， ∵点D（﹣1，n）在y＝﹣2x+6上， ∴n＝8， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AD的解析式为y＝4x+12； （2）令y＝﹣2x+6＝0， 解得：x＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝6， ∵点M在直线y＝﹣2x+6上， ∴M（m，﹣2m+6）， ①当m＜3时，S＝×6×（﹣2m+6）， 即S＝﹣6m+18； ②当m＞3时，S＝×6×[﹣（﹣2m+6）]， 即S＝6m﹣18． 【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，在求两条直线的交点坐标时，常常联立组成方程组，难度不大． 26．（7分）在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）． （1）如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H．求证：四边形BECH是平行四边形； （2）如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD＝∠FND． 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE＝∠DCH，然后依据AAS求得△BDE≌△CDH得出ED＝HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得． （2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME＝DN，MD＝NF，进而根据SSS即可证明△MED≌△NDF，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD＝∠FND． 【解答】证明：（1）如图①，∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BE∥CF， ∴∠DBE＝∠DCH， 在△BDE与△CDH中， ， ∴△BDE≌△CDH（AAS）， ∴ED＝HD， ∴四边形BECH是平行四边形； （2）如图②连接FD、ED，延长ED交CF于点H， ∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴BE∥CF， 由（1）可知ED＝HD，又∵CF⊥AE， ∴ED＝FD（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， ∵在RT△AEB中，M是AB的中点， ∴ME＝AB， ∵在△ABC中，D、N分别是BC、AC的中点， ∴DN＝AB， ∴ME＝DN， 同理，MD＝NF， 在△MED与△NDF中， ， ∴△MED≌△NDF（SSS）， ∴∠EMD＝∠FND． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理等，此题的根据是能够找出三角形全等的条件，证得全等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/5/20 12:13:50；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 学魁网