专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度.doc

专题提升(十四)　利用解直角三角形测量物体高度 或宽度 【经典母题】 图Z14－1 如图Z14－1，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度．(精确到0.1 m) 解：略． 【思想方法】　利用解直角三角形测物高是常见的考题，通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路． 【中考变形】 图Z14－2 1．[2016·长沙]如图Z14－2，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°， 看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为 (　A　) A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m 图Z14－3 2．[2017·内江]如图Z14－3，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度． (结果保留根号) 【解析】 先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，即可求出塔ED的高度． 解：由题意，得∠DBC＝60°，∠EBC＝30°， ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE. 设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝3x， BC＝＝x. ∵∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC. ∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10 .DE＝2x＝60＋20 ， 答：塔高约为(60＋20 ) m. 3．[2017·菏泽]如图Z14－4，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42 m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD. 图Z14－4　　　　中考变形3答图 【解析】 过点A作AE⊥CD于E，分别在Rt△BCD和Rt△ACE中，利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE，CD的长，然后根据CD－CE＝AB，即可求得CD长． 解：如答图，过点A作AE⊥CD于E， 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝， ∴CD＝BD·tan60°＝ BD， 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝， ∴CE＝BD·tan30°＝BD， ∴AB＝CD－CE，即BD－BD＝42，BD＝42，解得BD＝21 ， ∴CD＝BD·tan60°＝ BD＝63 m. 答：11号楼的高度CD为63 m. 4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图Z14－5①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm. 图Z14－5 (1)求∠CAO′的度数； (2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少厘米？ (3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？ 解：(1)∵O′C⊥AC，O′C＝12 cm，O′A＝OA＝24 cm， ∴sin∠CAO′＝＝＝， ∴∠CAO′＝30°， 中考变形4答图 (2)如答图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°， ∴BD＝24·sin60°＝12(cm)， 又∵B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(cm)， ∴B′C－BD＝(36－12)cm； ∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12)cm； (3)120°－90°＝30°， ∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°. 图Z14－6 5．[2017·岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图Z14－6所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm. (1)求支架CD的长； (2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号) 解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝ ＝，解得CD＝40 cm； (2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝＝， 解得OC＝55 cm， ∴OA＝2OC＝110(cm)，OB＝OD＝OC－CD＝55－40＝15(cm)，AB＝OA－OB＝110－15＝95(cm)． 6．[2016·泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i＝1∶的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，结果保留根号) 　图Z14－7 　　　中考变形6答图 解：如答图，过点B作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M. 在Rt△BDN中，BD＝30 m，BN∶ND＝1∶，∴∠D＝30°. ∴BN＝15 m，DN＝15 m， ∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°， ∴四边形CMBN是矩形， ∴CM＝BN＝15 m，BM＝CN＝60－15＝45(m)， 在Rt△ABM中，tan∠ABM＝≈， ∴AM＝60 m， ∴AC＝AM＋CM＝ m. 7．[2016·海南]如图Z14－8，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4 m，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上． (1)求斜坡CD的高度DE； (2)求大楼AB的高度．(结果保留根号) 图Z14－8 　　中考变形7答题 解：(1)在Rt△DCE中，CD＝4 m，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°， ∴DE＝CD＝2(m)； (2)如答图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F. ∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°， ∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形， 设BF＝DF＝x(m)， ∵∠DEC＝∠EAF＝∠AFD＝90°， ∴四边形DEAF为矩形， ∴AF＝DE＝2 m，即AB＝(x＋2)m， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， ∴BC＝＝＝＝ m， BD＝BF＝x m，DC＝4 m， ∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°， ∴∠DCB＝90°， 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得2x2＝＋16，解得x＝4＋4或4－4(舍去)， ∴AB＝(6＋4)m. 【中考预测】 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30 cm. (1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长； (2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20) 图Z14－9 解：(1)∵∠BAC＝24°，CD⊥AB， ∴sin24°＝ ， ∴CD＝ACsin24°≈30×0.40＝12(cm)； ∴支撑臂CD的长为12 cm； 中考预测答图 (2)如答图，过点C作CE⊥AB于点E， 当∠BAC＝12°时，sin12°＝ ＝， ∴CE≈30×0.20＝6， ∵CD＝12，∴DE＝6 ， ∴AE＝＝12 cm， ∴AD的长为(12＋6)cm或(12－6)cm.