高二数学同步单元练习（必修2） 专题03 空间几何体的表面积与体积（B卷） Word版含解析.doc

（测试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1∶3 B.1∶1 C.2∶1 D.3∶1 解析:V1∶V2=(Sh)∶=3∶1. 答案:D 2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的(　　) A. B. C. D. 答案:B 3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于(　　) A.6 B.6π C.3π D.6π 解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2, 则母线长为, 则其侧面积等于π(1+2)×=3π. 答案:C 4.(2015福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(　　) A. 8+2 B.11+2 C.14+2 D.15 答案:B 5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　) A. B. C. D. 解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是. 答案:D 6.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.8 C.8 D.8 解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则 S球=4πR2=4π,∴R=1. 又∵正方体内接于球,∴x=2R=2, ∴x=,∴S正=6x2=6×=8. 答案:B 7.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为(　　) A.a3 B.a3 C.a3 D.a3 解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3. 答案:C 8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(　　) A.π B.4π C.4π D.6π 解析: 9.下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(　　) A.9π B.10π C.11π D.12π 答案:D 10.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为(　　) A. B. C.8π D. 解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=. 答案:D 11.(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(　　) A.1+ B.1+2 C.2+ D.2 解析: 由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+. 答案:C 12.(2016浙江嘉兴一中高二期中)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为.则该几何体的俯视图可以是(　　) 答案:C 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为　　　　　.  解析: 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h, 则 解得 故它的体积为×π×12×. 答案: 14.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　　.  解析:S柱=2×π+2π··a=πa2, S锥=π+π··a=πa2.∴S柱∶S锥=2∶1. 答案:2∶1 15. 如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是　　　　　.  16.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　.  解析: 作经过球心的截面(如图), O1A=3,O2B=4,OA=OB=5, 则OO1=4,OO2=3,O1O2=7, V=(32++42)×7=. 答案: 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积. 解: ∴,即, ∴r=1. S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π. ∴S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π. 18.已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积. 解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示, 故三棱锥V-ABC的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3+3=3(). 19.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积. 解: 如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE. ∵OE=2 cm,∠OPE=30°, ∴PE=2OE=4 cm. 因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2). 20.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积. 解: 设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M, 21.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比. 解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h, ∴V圆锥=πr2h. 球的半径为r, ∴V球=πr3. 又h=2r, ∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3. 22.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积. 解: