高二数学人教选修1-2同步练习：2.2.1 综合法与分析法（二） Word版含解析.doc

2.2.1　综合法与分析法(二) 一、基础过关 1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则 (　　) A．a≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且<，则 (　　) A.<< B.<< C.<< D．以上均可能 3．下面四个不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac； ②a(1－a)≤； ③＋≥2； ④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中恒成立的有 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 (　　) A. B．2ab C．a2＋b2 D．a 5．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________． 6．如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F. 求证：AF⊥SC. 证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立． 二、能力提升 7．命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg()，则 (　　) A．R<P<Q B．P<Q<R C．Q<P<R D．P<R<Q 9．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 10．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋. 11．已知a>0，求证： －≥a＋－2. 12．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8. 13．已知函数f(x)＝x2＋＋aln x(x>0)，对任意两个不相等的正数x1、x2，证明：当a≤0时，>f()． 三、探究与拓展 14．已知a，b，c，d∈R，求证： ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？) 答案 1．C　2．A　3．C　4．C　5．a>b>c 6．EF⊥SC　AE⊥平面SBC　AE⊥SB　AB⊥BC 7．C　8．B　9．①③⇒② 10．证明　方法一　用综合法 ＋－－ ＝ ＝ ＝>0， ∴＋>＋. 方法二　用分析法 要证＋>＋， 只要证＋＋2>a＋b＋2， 即要证a3＋b3>a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)， 即需证a2－ab＋b2>ab， 只需证(a－b)2>0， 因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立， 所以＋>＋成立． 11．证明　要证 －≥a＋－2， 只要证 ＋2≥a＋＋. ∵a>0，故只要证 2≥2， 即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 从而只要证2≥， 只要证4≥2， 即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立． 12．证明　方法一　(分析法) 要证(－1)(－1)(－1)≥8成立， 只需证··≥8成立． 因为a＋b＋c＝1， 所以只需证··≥8成立， 即证··≥8成立． 而··≥··＝8成立． ∴(－1)(－1)(－1)≥8成立． 方法二　(综合法) (－1)(－1)(－1) ＝(－1)(－1)(－1) ＝·· ＝ ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立． 13．证明　由f(x)＝x2＋＋aln x， 得＝(x＋x)＋(＋)＋(ln x1＋ln x2) ＝(x＋x)＋＋aln . f()＝()2＋＋aln ， ∵x1≠x2且都为正数， 有(x＋x)>[(x＋x)＋2x1x2]＝()2.① 又(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2>4x1x2， ∴>.② ∵<， ∴ln<ln. ∵a≤0，∴aln≥aln.③ 由①、②、③得 >f()． 14．证明　方法一　(用分析法) ①当ac＋bd≤0时，显然成立． ②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)． 即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2. 即证2abcd≤b2c2＋a2d2. 即证0≤(bc－ad)2. 因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 方法二　(用综合法) (a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2) ＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2. ∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 方法三　(用比较法) ∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝(bc－ad)2≥0， ∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， ∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd. 方法四　(用放缩法) 为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|， 可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)． 由方法一知上式成立，从而方法四可行． 方法五　(构造向量法) 设m＝(a，b)，n＝(c，d)， ∴m·n＝ac＋bd， |m|＝， |n|＝. ∵m·n≤|m|·|n|＝·. 故ac＋bd≤.