高二数学人教A必修5练习：3.1 不等关系与不等式 Word版含解析.docx

第三章　不等式 §3.1　不等关系与不等式 课时目标 1．初步学会作差法比较两实数的大小． 2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立． (2)符号表示 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b. 2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b⇔b<a(对称性)； (2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)； (3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； (5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A.< B．a2>b2 C.> D．a|c|>b|c| 答案　C 解析　对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立； 对B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，∴B不成立； 对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立， ∴C正确； 对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立． 2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　) A．a>> B.>>a C.>a> D.>>a 答案　D 解析　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－， ∴>>a. 3．已知a、b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　) A．a2<b2 B．a2b<ab2 C.< D.< 答案　C 解析　对于A，当a<0，b<0时，a2<b2不成立； 对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立； 对于C，∵a<b，>0，∴<； 对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1. 4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 答案　C 解析　∵<x<1，∴－1<ln x<0. 令t＝ln x，则－1<t<0. ∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b. c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)， 又∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，－2<t－1<－1， ∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b. 5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0 答案　D 解析　由a>|b|得－a<b<a， ∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对． 可取特值，如a＝2，b＝－1， a3＋b3＝7>0，故B错． 而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错． 6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 答案　A 解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， 又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A. 二、填空题 7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． 答案　[－1,6] 解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________． 答案　f(x)>g(x) 解析　∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， ∴f(x)>g(x)． 9．若x∈R，则与的大小关系为________． 答案　≤ 解析　∵－＝＝≤0， ∴≤. 10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________． 答案　A>B 解析　A＝，B＝. ∵＋<＋，并且都为正数，∴A>B. 三、解答题 11．设a>b>0，试比较与的大小． 解　方法一　作差法 －＝ ＝＝ ∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0. ∴>0，∴>. 方法二　作商法 ∵a>b>0，∴>0，>0. ∴＝＝＝1＋>1. ∴>. 12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小． 解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx， ①当或 即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)； ②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)； ③当或 即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)． 综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)； 当x＝时，f(x)＝g(x)； 当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)． 能力提升 13．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　) A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D. 答案　A 解析　方法一　特殊值法． 令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝， 则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝， a1b2＋a2b1＝＝， ∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2. 方法二　作差法． ∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0<a1<a2,0<b1<b2， ∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1， ∴0<a1<，0<b1<. 又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1， a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a－b， a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1， ∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1 ＝(a1－b1)2≥0， ∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2. ∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1 ＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1) ＝4>0， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. ∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1 ＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1) ＝2>0， ∴a1b1＋a2b2>. 综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2. 14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2) ＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号． 1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．