高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析.docx

模块综合检测 (时间:120分钟　满分:150分) 知识点分布表 知识点 不等式的性 质及应用 与三角形面 积有关的问题 数列的有关 计算及性质 三角形中的 有关计算 等比数列 前n项和 线性 规划 等差数列 前n项和 基本 不等式 判断三角 形的形状 综合与 实际应用 相应题号 1 2 3,10 4 5,12 6 7,14,15 8,11,13 9 16,17,18, 19,20,21,22 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1a<1b B.ac2+1>bc2+1 C.a2>b2 D.a|c|>b|c| 答案:B 解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立, ∴1a<1b不成立. B.∵c2+1≥1,a>b,∴ac2+1>bc2+1,故B正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立, ∴a2>b2不成立. D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B. 2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为32,则BC的长为(　　) A.3 B.3 C.7 D.7 答案:A 解析:S=12×AB·ACsin 60°=12×2×32AC=32, 所以AC=1. 所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3. 所以BC=3,故选A. 3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　) A.26 B.29 C.39 D.52 答案:C 解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39. 4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则ab等于(　　) A.1 B.2 C.2 D.3 答案:C 解析:利用正弦定理,将bcos C+ccos B=2b化为sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, 即sin(B+C)=2sin B. ∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B. 利用正弦定理可得a=2b,故ab=2. 5.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-43,则{an}的前10项和等于(　　) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 答案:C 解析:由3an+1+an=0,得an+1an=-13. 所以{an}是以q=-13为公比的等比数列. 所以a1=a2·1q=-43×(-3)=4. 所以S10=41--13101+13=3(1-3-10),故选C. 6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件x≥1,x+y-4≤0,x-3y+4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值为(　　) A.-4 B.0 C.43 D.4 答案:D 解析:画出不等式组表示的平面区域, 将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D. 7.已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 答案:B 解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1, 由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-361a1≥0⇒n≤643=2113, 所以数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数, 故Sn取最大值时,n的值为21,选B. 8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2a+1b=1,x=a+b,则实数x的取值范围是(　　) A.[6,+∞) B.(22,+∞) C.[42,+∞) D.[3+22,+∞) 答案:D 解析:∵2a+1b=1, ∴x=a+b=(a+b)2a+1b=2+1+2ba+ab≥3+22当且仅当2ba=ab,即b=2+1,a=2+2时, 等号成立　　.故选D. 9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan Atan B>1,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案:A 解析:因为A和B都为三角形中的内角, 由tan Atan B>1,得到1-tan Atan B<0, 且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角, 所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB<0, 则A+B∈π2,π,即C为锐角, 所以△ABC是锐角三角形. 10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N*,则a11=(　　) A.36 B.38 C.40 D.42 答案:D 解析:因为nan+1=(n+1)an+2,n∈N*, 所以在等式的两边同时除以n(n+1), 得an+1n+1-ann=21n-1n+1. 所以a1111=a11+2110-111+19-110+…+ 1-12=4211.所以a11=42.故选D. 11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(　　) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q 答案:C 解析:∵f(x)=ln x, ∴p=f(ab)=lnab=12(ln a+ln b)=r. 又∵0<a<b,∴a+b2>ab. 又∵y=ln x为递增函数, ∴lna+b2>lnab,即q>r,综上p=r<q. 12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列an的“差数列”,若a1=1,{an}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{an}的通项公式an=(　　) A.3n-1 B.3n+1+2 C.3n-12 D.3n+1-12 答案:C 解析:∵a1=1,an+1-an=3n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+…+31+1 =1×(1-3n)1-3=3n-12.故选C. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x-4,当x=　　　　　时,函数有最小值为　　　　　.  答案:5　6 解析:∵x>4,∴x-4>0. ∴y=x+1x-4=x-4+1x-4+4 ≥2(x-4)·1x-4+4=6. 当且仅当x-4=1x-4即x=5时等号成立. 14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n-12n+3,则a8b8=　　　　　.  答案:43 解析:2a82b8=a1+a15b1+b15=152(a1+a15)152(b1+b15)=S15T15=3×15-12×15+3=43. 15.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则a2 015=　　　　　.  答案:8 057 解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2, 两式作和得:an+1=2an-1-an-3, 即an+1+an-3=2an-1(n=4,5,…). ∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a1=1,a3=9, ∴奇数项构成的等差数列的公差为8. 则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057. 16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有下列结论: ①若A>B,则sin A>sin B; ②若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形; ③若a,b,c成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C); ④若a,b,c成等比数列,则cos B的最小值为12. 其中结论正确的是　　　　　.(填上全部正确结论的序号)  答案:①③④ 解析:对于①,若A>B,则a>b,由正弦定理得sin A>sin B,命题①正确; 对于②,若c2<a2+b2,则cos C=a2+b2-c22ab>0,说明C为锐角,但A,B不一定为锐角,△ABC不一定是锐角三角形,命题②错误; 对于③,若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B,即sin A+sin C=2sin(A+C),命题③正确; 对于④,若a,b,c成等比数列,则b2=ac, 则cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac≥ac2ac=12,命题④正确. 三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分) 17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A的值; (2)若△ABC的面积为12,求b的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π, ∴sin B=1-cos2B=35. 由正弦定理可得:asinA=bsinB. 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45. (2)由面积公式,得S△ABC=12acsin B, ∴12ac×35=12,可解得c=10. 由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B=52,解得b=213. 18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列. (1)求c的值; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c, 因为a1,a2,a3成等比数列, 所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2. 当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2. (2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c, 所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2c. 又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…). 当n=1时,上式也成立. 所以an=n2-n+2(n=1,2,…). 19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为3. (1)求证:a,2,c成等比数列; (2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状. (1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°. 又△ABC的面积为3,∴12acsin 60°=3,即ac=4. ∵ac=22,∴a,2,c成等比数列. (2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4, ∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立. ∴△ABC的周长L=a+b+c≥2ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立. ∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立. ∴△ABC周长的最小值为6. ∵a=c,B=60°, ∴此时△ABC为等边三角形. 20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2. (1)当b=3时, ①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值; ②求不等式f(x)<0的解集. (2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围. 解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2, ①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2], ∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根. ∴1+2=3a,1×2=2a2,解得a=1. ②∵x2-3ax+2a2<0, ∴(x-a)(x-2a)<0. ∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a), 当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a,a). (2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a在a∈[1,2]上恒成立. 又a+2a≥2a·2a=22, 当且仅当a=2a,即a=2时上式等号成立. ∴b<22,实数b的取值范围是(-∞,22). 21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2. 问:甲、乙两车有无超速现象? 解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12, 即x2+10x-1 200=0, 解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h. 甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10, 即x2+10x-2 000>0, 解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速. 22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项an; (2)求数列{n2an}的前n项和Tn; (3)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*), 所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=n2an(n≥2). 两式相减得nan=n+12an+1-n2an, 所以(n+1)an+1nan=3(n≥2). 因此数列{nan}从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以nan=2·3n-2(n≥2).故an=1,n=1,2n·3n-2,n≥2. (2)由(1)可知当n≥2时,n2an=2n·3n-2, 当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2, ∴3Tn=3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1. 两式相减得Tn=12+n-12·3n-1(n≥2). 又∵T1=a1=1也满足上式, ∴Tn=12+n-12·3n-1. (3)an≥(n+1)λ等价于λ≤ann+1, 由(1)可知当n≥2时,ann+1=2·3n-2n(n+1), 设f(n)=n(n+1)2·3n-2(n≥2,n∈N*), 则f(n+1)-f(n)=-(n+1)(n-1)3n-1<0, ∴1f(n+1)≥1f(n). 又1f(2)=13及a12=12, ∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.