《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础）知识讲解.doc

馨雅资源网 《有理数及其运算》全章复习与巩固（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力． 2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值． 3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题． 4．会用科学记数法表示数． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 【典型例题】 类型一、有理数相关概念 1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________． 【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全． 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三： 【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】 【变式】(1)的倒数是　 ；的相反数是　 　；的绝对值是　 　． -（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ． (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min． (4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ ． 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）；（4）3； 2．（2015•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x的值为　 　． 【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3． 【答案】±3． 【解析】 解：∵|﹣3|=3， ∴|x|=3， ∵|±3|=3， ∴x=±3． 【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3． 3．在下列两数之间填上适当的不等号： ________． 【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小． 【答案】 ＜ 【解析】 解法一：作差法 由于，所以 解法二：倒数比较法：因为 所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 举一反三： 【变式】（2015•宁德）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　） 　 A．a+b＜0 B． a﹣b＜0 C． a•b＞0 D． ＞0 【答案】B． 类型二、有理数的运算 4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39） （2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4| （3） （4） 【答案与解析】 解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39） =﹣12﹣5﹣14+39 =﹣31+39 =8 （2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4| =﹣9÷9﹣6+4 =﹣1﹣6+4 =﹣3 （3） =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8 =﹣23 （4） =﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32] =﹣×[2﹣32] =﹣×[﹣30] =24 （5） 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． 举一反三： 【变式】计算：（1） （2） 【答案】解：（1） （2） =-16+4-3×1 =-15 类型三、数学思想在本章中的应用 　5．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系． A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a 　 　 （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值． 　 　 （3）转化思想：计算： 【答案与解析】 解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a． 所以正确选项为：D． （2）因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3． 当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8 （3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”． 举一反三： 【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么? 【答案】解： 当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0； 　 　 当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0； 　 　 当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0． 　 　所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数． 类型四、规律探索 6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下： 请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律． 【答案】 【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来． 学魁网