5-1-2-4 最值的数字谜（一）.教师版.doc

5-1-2-4.最值中的数字谜（一） 教学目标 1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 知识点拨 数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。 例题精讲 【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设这四个数字是，如果，用它们组成的最大数与最小数的和式是，由个位知，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，与题意不符．所以，最大数与最小数的和式为，由此可得，百位没有向千位进位，所以，；．所以最小的四位数是2049． 【答案】2049 【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是 ． 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 用、、、分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看只能是1或2，是8或9；从末位来看，，得，所以只能是，．被减数的十位数，要被个位借去1，就有．最大能取9，此时为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989． 【答案】1989 【例 3】 在下面的算式中，、、、、、、分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数的最大可能值是 ． 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 可以看出，，或16．若，则、分别为2和4，此时，只能是、分别为3或7，此时，、只能分别取、、、，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以不能为6，．这时、分别为9和7；且，，所以它们可以取、两组．要使最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此的最大可能值为659．事实上，所以最大为659． 【答案】659 【巩固】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题 【解析】 显然“”，所以“或”，如果“”，则四位数与三位数的和超过，显然不符合条件，所以“”，所以“”，如果“”那么“”，“”，不符合条件，所以“”最大只能是，所以“”，为了保证不同的汉字代表不同的数字，“”最大是，所以“奥林匹克”最大是。 【答案】 【例 4】 下面是一个进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求和的值． 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 由于算式中出现5个不同的数字，所以至少为5．在进制中，就像在10进制中一样，两个四位数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为1(因为这两个四位数都小于10000，它们的和小于20000，故首位为1)，即．由于最大为，则，，即两个四位数的首位向上位进后最多还剩下，即最大为，又因为不同的字母表示不同的数，不能与相同，所以只能为．则，末位向上进1位；，即；，不向上进位，所以；，得，则．所以为5，为42130． 【答案】为5，为42130 【例 5】 右式中的，，，分别代表0～9中的一个数码，并且满足，被加数最大是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 若，则由竖式知，，不满足；若，则由竖式知，，代入，得．由此推知最大为40，最大为． 【答案】35 【巩固】 下式中的，，，分别代表0～9中的一个数码，并且满足，被减数最小是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 若，则由竖式知，，不满足；若，则由竖式知，，即，代入，得．由知，所以最小为42． 【答案】42 【例 6】 从1—9这9个数字中选出8个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大可能是　 　． 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第9题 【解析】 由题目可知，四位数的千位数字肯定是1，此时还剩下2～9这8个数字，再看三个数的个位数字之和的尾数为0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为1759. 　　　　 【答案】 【例 7】 如图，在加法算式中，八个字母“”分别代表0到9中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“”的最大值是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】 原式为，即．为了使最大，则前两位先尽量大，由于小于100，所以最大可能为80．若，则继续化简为．现在要使尽量大．由于8和0已经出现，所以此时最大为，此时出现重复数字，可见小于76．而符合题意，所以此时最大为75，的最大值为8075． 【答案】8075 【例 8】 把，，，…，，这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一次，那么加数中的三位数的最小值是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】湖北省“创新杯” 【解析】 从式中可以看出，千位上的方框中的数为，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为．由于三位数的百位上不能为和，所以要使三位数最小，它的百位应该为，十位应该为．那么十位向百位的进位为，所以四位数的百位为，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和为．又剩下的数字，，，，，中除只向十位进外，其余任选四数字的和都大于，由于的尾数不为，所以个位上四个数字不能是，，，，所以个位向十位进位为，也就是十位上的三个方框中的数的和为(其中有一个为)，而剩下的，，，，，中只有，所以个位上的四个方框中的数为，，，，那么加数中的三位数最小为． 【答案】 【例 9】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的位数最小为 ． 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛，第9题，12分 【解析】 “好”为，要使算式满足则必有(美数花。要使“美妙数学花园”代表的位数最小，则美数花，妙学园．即“美妙数学花园”代表的位数最小为 【答案】 【例 10】 面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是__________. 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，11题 【解析】 为了让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是9，“展”应该是7，于是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能是2+3+5，为了“数学解题”与“能力”的差最小，让“题”=2，“力”=5，于是“数学解题”-“能力”=1842-95=1757. 【答案】 【例 11】 右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“”内的数字之和最大可达到            。 【考点】加减法的进位与借位 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，5分 【解析】 末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60 【答案】 【例 12】 将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空 【关键词】 “迎春杯”，高年级组，复赛 【解析】 9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125． 【答案】最小是1125 【例 13】 在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则与乘积的最大值是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】6星 【题型】填空 【解析】 本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个位，若个位不进位，则四个数字之和为，是偶数；若个位进位，则四个数字之和为或，还是偶数．所以为偶数，又，所以为奇数．如果加法算式中个位不进位，那么，这样为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向十位进奇数位，只能是1位，故，，得，而，所以，、可能为2、6或3、5，乘积为12或15，故与乘积的最大值是15． 另解：因为，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即是9的倍数，由于，所以，再根据“和一定，差小积大”，所以、的取值为3、5时，与乘积的最大值是15． 【答案】15 【例 14】 右式中不同的汉字代表l一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少? 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第3题 【解析】 “新”必为9，千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为8或18，但当和为18时，（“国”、“京”、“运”分别为7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为15（“中”、“北”、“奥”分别为8，4，3），不能进位2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是8，此时，“北”、“奥”只能分别为7和5，则“国”、“京”、“运”分别为4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是84. 【答案】 【例 15】 华杯赛网址是，将其中的字母组成如下算式：，如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且、、、，则三位数的最小值是 ． 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 根据题意可知，，有，此时，，，，，只能取0，1，2，3，4，5． 的最小值为1，的最小值为0，最小取2，若，此时最大只能取2，矛盾；所以至少为3，若，此时，，，符合条件，所以三位数的最小值是103． 另解：此题也可采用弃九法．等式两边除以9的余数相同，左边除以9的余数与除以9的余数相同，即与除以9的余数相同；右边除以9的余数为1，所以除以9的余数为1．而，，所以，除以9的余数为1，可见除以9的余数为3，那么只能为3． 由于的最小值为1，的最小值为0，所以三位数的最小可能值是103；又当，，时，，所以三位数的最小值就是103． 【答案】 【例 16】 在下面的表1中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为。请你在表2中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是 。 表1 表2 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题 【解析】 首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格： 主对角线14+7+10+6和一侧的17+11+9，总和为74； 副对角线8+11+13+3和一侧的18+10+12，总和为75。 再看看能否做优化：观察到前一种方法中可以舍弃10和6而取18，总和增加2，这样总和为76。而后一种方法无法再做优化，所以最大值为76。 【答案】 5-1-2-4.最值的数字谜（一）.题库 教师版 page 7 of 7