4-3-5 任意四边形、梯形与相似模型（三）.教师版.doc

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块三 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①； ②． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 【例 1】 如图，已知在平行四边形中，，，，那么的长度是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于，所以，所以． 【答案】8 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为厘米，被分为等份．如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(平行)，那么小玻璃管口径是多大？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以，，所以厘米． 【答案】10 【例 3】 如图，平行，若，那么________． 【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型，， 设份，则份，份，所以． 【答案】 【例 4】 如图， 中，，，互相平行，， 则 ． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以 【答案】 【巩固】如图，平行，且，，，求的长． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得，所以 【答案】10 【巩固】如图， 中，，，，，互相平行，， 则 ． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份． 所以有 【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【答案】 【例 5】 已知中，平行，若，且比大，求． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据金字塔模型，，设份，则份，份，比大份，恰好是，所以 【答案】12.5 【例 6】 如图：平行， ，，求的长度 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在沙漏模型中，因为，所以，在金字塔模型中有： ，因为，，所以 【答案】2 【巩固】如图，已知平行，，那么________． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得． 【答案】 【例 7】 如图，中，，，与平行，的面积是1平方厘米．那么的面积是 平方厘米． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 因为，，与平行， 根据相似模型可知，，平方厘米， 则平方厘米， 又因为，所以(平方厘米)． 【答案】 【例 8】 如下图，正方形ABCD边长为l0厘米，BO长8厘米。AE=____厘米。 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分 【解析】 △AOB与△EDA相似，对应边成比例。AB：BOAE：AD，AEAB×AD÷BO10×10÷812.5(厘米)。 【答案】12.5 【例 9】 如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则三角形AOB的面积是（ ）平方厘米。 A、24 B、36 C、48 D、60 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛 【解析】 【答案】 【例 10】 在图中的正方形中，，，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接，易知∥，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍． 【答案】3 【例 11】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG． 设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x， 即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)． 【答案】 【例 12】 如图，线段与垂直，已知，，那么图中阴影部分面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看． 作辅助线，则图形关于对称，有，，且． 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份． 因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为． 解法二：连接、．由于，，所以∥，根据相似三角形性质，可知， 根据梯形蝴蝶定理，， 所以，即； 又，所以． 【答案】15 【例 13】 如图，四边形和都是平行四边形，四边形的面积是，，则四边形的面积________． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，精英邀请赛 【解析】 因为为平行四边形，所以，所以为平行四边形． ，那么，所以． 又，所以，根据沙漏模型， ，所以． 【答案】3 【例 14】 已知三角形的面积为，，是的中点，且∥，交于，求阴影部分的面积． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 已知，且∥，利用相似三角形性质可知，所以，且． 又因为是的中点，所以是三角形的中位线，那么，，所以，可得，所以，那么． 【答案】 【例 15】 已知正方形，过的直线分别交、的延长线于点、，且，，求正方形的边长． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有，，设正方形的边长为，所以有，即，解得，所以正方形的边长为． 方法二：或根据一个金字塔列方程即，解得 【答案】6 【例 16】 如图，三角形是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有，，设正方形的边长为毫米，，即，解得，即正方形的边长为毫米． 【答案】48 【巩固】如图，在中，有长方形，、在上，、分别在、上，是 边的高，交于，，厘米，厘米，求长方形的长和宽． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察图中有金字塔模型个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以，，所以有，设，则，所以有，解得，，因此长方形的长和宽分别是厘米，厘米． 【答案】长，宽 【例 17】 图中是边长为的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为，那么三角形的面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题中条件，可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做垂直于，交于． 因为∥，所以三角形与三角形相似，且相似比为， 所以，又因为，所以， 所以三角形的面积为． 【答案】108 【例 18】 如图，将一个边长为的正方形两边长分别延长和，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：；， 则，， 【答案】 【例 19】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学 【解析】 设大、小正方形的边长分别为厘米、厘米()，则，所以．若，则，不合题意，所以只能为6或7．检验可知只有、满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，，而，得(厘米)，所以阴影部分的面积为：(平方厘米)． 【答案】10.8 【例 20】 如图，是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为和，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接,面积为的三角形占了矩形面积的，所以,所以,所以,由三角形相似可得阴影部分面积为． 【答案】 【例 21】 已知长方形的面积为厘米，是的中点，、是边上的三等分点，求阴影的面积是多少厘米？ 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是的中点，、是边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成份的话，那么份、份，大家能在图形中找到沙漏和：有，所以，相当于把分成()份，同理也可以在图中在次找到沙漏：和也是沙漏，，由此可以推出：, 相当于把分成()份，那么我们就可以把分成份(和的最小公倍数)其中占份，占份，占份，连接则可知的面积为，在为底的三角形中占份，则面积为：(平方厘米). 【答案】3 【例 22】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质． 设、分别为、的中点，连接、、． 可得， 对角线被、、平均分成四段，又∥，所以，， 所以 (平方厘米)，(平方厘米)． 同理可得平方厘米，平方厘米． 所以 (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为(平方厘米)． 方法二：寻找图中的沙漏，，，因此为的三等分点，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)． 【答案】48 【例 23】 如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是 平方厘米． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线． 取的中点，连接，设交于． 则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)． 因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为 (平方厘米)． 【答案】8 【例 24】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，，求． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于∥，利用相似三角形性质可以得到， 又因为为中点，那么有， 所以，利用相似三角形性质可以得到， 而，所以． 【答案】 【例 25】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，．求阴影部分的面积． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作垂直于，垂直于． 根据相似三角形性质，，又因为，所以，即，所以． 【答案】 【例 26】 梯形的面积为12，，为的中点，的延长线与交于，四边形 的面积是 ． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 延长、相交于． 由于为的中点，根据相似三角形性质，，，再根据相似三角形性质，，，而， 所以，． 又，，所以． 【答案】 【例 27】 如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差． (法1)如图，连接． 由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以； ，所以． 那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)． (法2)如图，连接． 根据燕尾定理，，， 所以平方厘米， 而平方厘米，所以平方厘米， 那么阴影部分面积为(平方厘米)． 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法： ⑴利用面积公式：底高； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型． 【答案】12.5 【例 28】 如图,是直角梯形，，那么梯形的面积是多少? 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 延长交于点，分别计算的面积，再求和． ∴； 又∵ ∴, ∴ 【答案】40 【例 29】 边长为厘米和厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？ 　　　　　　　 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为，小正方形为，分别交于两点， ， ∴，， ∵ ∴ 【答案】16.2 【例 30】 如右图，长方形中，，，求的长． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为∥，根据相似三角形性质知， 又因为∥，， 所以，即，所以． 【答案】15 【例 31】 如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 【答案】 【例 32】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而， 所以， 并得、是的三等分点，所以，所以 ， 所以，； 又因为，所以． 解法二：延长交于，如右图， 可得，， 从而可以确定的点的位置， ， ，(鸟头定理)， 可得 【答案】 【例 33】 正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积． 由题意可得到：，所以可得： 将、延长交于点，可得： ， 而，得， 而，所以 ． 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出． 【答案】14 【例 34】 如图，已知,点分别在上，且，则是多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接． ∵ ∴ ∴与平行， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 【答案】10 【例 35】 如图，长方形中，、分别为、边上的点，，，求． 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，过作的平行线交于． 由于是的中点，所以是的中点． 由于，，所以，． 根据相似性，，， 于是，，， 所以． 【答案】 【例 36】 如下图，、、、均为各边的三等分点，线段和把三角形分成四部分，如果四边形的面积是24平方厘米，求三角形的面积． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设三角形以为底的高为， 由于，所以； 所以三角形以为底的高是； 又因为三角形以为底的高是， 所以三角形的面积与三角形的面积之比， 所以三角形的面积为(平方厘米)， 而三角形的面积占三角形的， 所以三角形的面积是(平方厘米)． 【答案】40.5 【例 37】 如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？ 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛 【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ，所以，所以占的， 所以． (法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为， 所以，则()，阴影部分面积等于 ()． 【答案】 【例 38】 如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA．若三角形ABC的面积是1．则阴影部分的面积是多少? 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】奥林匹克，5题 【解析】 △ABC、△ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有 而E为AD中点，所以 连接FD，△DFE、△FAE面积相等，设则．的面积也为x， 而 ，解得. 所以，阴影部分面积为 【答案】 【例 39】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为．那么，④、⑤这两块的面积比是______． 【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】 如图∵，∴，∴， ，，又∵，∴， ∴，∴． 【答案】 【例 40】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，m＋n的值等于__________。 （A）5 （B）7 （C）8 （D）12 【考点】相似三角形模型 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，5题 【解析】 ，先求原题左图中的阴影部分的面积，连接，（见下图）. 是矩形对角线的交点，所以，。 原题左图中有块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于，再求右图中阴影部分的面积。过作的平行线交于，连接（见下图）。 ∵∥，∴。∵∥,∴。 ∵∥∥,∴。至此，求出了。 ∵∴。由对称性知，, ∴。 四边形。 原题右图中有块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于。 。 【答案】5 【例 41】 如图所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第十五题 【解析】 面积是1，那么, 所以与的高之比是1：7，所以=7, 因为AD与BC平行所以,所以 假设BE为16份，那么BI=9,IE=7,又知道BF:FE=3:1,:所以BF=12,FE=4, 所以IF=3,,所以=0.75 又有,所以=6.75 于是可求阴影部分面积是. 【答案】15 【例 42】 如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2. 【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思，六年级，第十一题 【解析】 方法一、连结EG、FJ可得GI：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH的十分之二，也就是大正方形的十分之一，为10 。 方法二： 根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。只要找到底边的比例关系便可以解答。根据“相似三角形”就是常说的沙漏定理。来找到底边a、b的比例关系，但是需要添加辅助线，如图所示：延长EA到K，使得EA=AK 因为EK：GJ=4:1，所以EI：IJ=4：1，三角形EGJ的面积是正方形面积的八分之一（） 【答案】10 4-3-5.任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 21 of 21