2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题八讲：2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题第五讲阅读理解型问题.docx

专题第五讲　阅读理解型问题 【要点梳理】 阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础． 阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯． 阅读理解题型分类： 题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力． 题型二：考查解题思维过程的阅读理解题 言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的． 题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题 理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力． 题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题 对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能． 【学法指导】 解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法： ①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词； ②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息； ③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答． 【考点解析】 　阅读新知识，解决新问题 （2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）=　2　． 【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算． 【分析】根据定义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2 故答案为：2 　阅读解题过程，模仿解题策略 （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　； （2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论． （3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点】SO：相似形综合题． 【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论； （2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明； （3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可． 【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F， ∵AB∥DC， ∴∠BAF=∠F， ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， 在△AEB和△FEC中， ， ∴△AEB≌△FEC， ∴AB=FC， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAF=∠BAF， ∴∠DAF=∠F， ∴DF=AD， ∴AD=DC+CF=DC+AB， 故答案为：AD=AB+DC； （2）AB=AF+CF， 证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC， ∴AB=GC， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG=∠FAG， ∵AB∥CD， ∴∠BAG=∠G， ∴∠FAG=∠G， ∴FA=FG， ∴AB=CG=AF+CF； （3）AB=（CF+DF）， 证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵AB∥CF， ∴△AEB∽△GEC， ∴==，即AB=CG， ∵AB∥CF， ∴∠A=∠G， ∵∠EDF=∠BAE， ∴∠FDG=∠G， ∴FD=FG， ∴AB=CG=（CF+DF）． 　阅读探索规律，推出一般结论 （2017内江）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 按上述规律，回答下列问题： （1）请写出第六个等式：a6=　　=　﹣　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an=　　=　﹣　； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=　　（得出最简结果）； （4）计算：a1+a2+…+an． 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【分析】（1）根据已知4个等式可得； （2）根据已知等式得出答案； （3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得； （4）根据已知等式规律，列项相消求解可得． 【解答】解：（1）由题意知，a6==﹣， 故答案为：，﹣； （2）an==﹣， 故答案为：，﹣； （3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣ =﹣ =， 故答案为：； （4）原式=﹣+﹣+…+﹣ =﹣ =． 【真题训练】 训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10． （1）若3⊗x=﹣2011，求x的值； （2）若x⊗3＜5，求x的取值范围． 训练二：（2017日照）阅读材料： 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=． 例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3， ∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为　4　； 问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值； 问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值． 训练三： （2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明． 训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣； =﹣； =﹣； … 请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为　　． 训练五： （2017山东滨州）根据要求，解答下列问题： ①方程x2﹣2x+1=0的解为　x1=x2=1　； ②方程x2﹣3x+2=0的解为　x1=1，x2=2　； ③方程x2﹣4x+3=0的解为　x1=1，x2=3　； … （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为　1、8　； ②关于x的方程　x2﹣（1+n）x+n=0　的解为x1=1，x2=n． （3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性． 参考答案： 训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10． （1）若3⊗x=﹣2011，求x的值； （2）若x⊗3＜5，求x的取值范围． 【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程． 【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得； （2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得． 【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011， 解得：x=2017； （2）根据题意，得：2x﹣3＜5， 解得：x＜4． 训练二：（2017日照）阅读材料： 在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=． 例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离． 解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3， ∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==． 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为　4　； 问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值； 问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值． 【考点】FI：一次函数综合题． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可； （2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题． （3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题． 【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4， 故答案为4． （2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1， ∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1， ∴=1， 解得b=5或15． （3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2， ∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2． 训练三： （2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD． 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． （2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明． 【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆） （2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论． 【解答】解：（1）BC+CD=AC； 理由：如图1， 延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=45°， ∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°， ∵∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACB+∠ACD=45°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE=AC， ∵CE=CE+DE=CD+BC， ∴BC+CD=AC； （2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2， 延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=α， ∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α， ∵∠ACB=∠ACD=α， ∴∠ACB+∠ACD=2α， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE， ∴∠AEC=α， 过点A作AF⊥CE于F， ∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα， ∴CE=2CF=2AC•cosα， ∵CE=CD+DE=CD+BC， ∴BC+CD=2AC•cosα． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目． 训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣； =﹣； =﹣； … 请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为　　． 【考点】6B：分式的加减法． 【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+++…+的值． 【解答】解：∵ =﹣， =﹣， =﹣， … ∴=（﹣）， ∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=． 故答案是：． 训练五： （2017山东滨州）根据要求，解答下列问题： ①方程x2﹣2x+1=0的解为　x1=x2=1　； ②方程x2﹣3x+2=0的解为　x1=1，x2=2　； ③方程x2﹣4x+3=0的解为　x1=1，x2=3　； … （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为　1、8　； ②关于x的方程　x2﹣（1+n）x+n=0　的解为x1=1，x2=n． （3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性． 【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可； （2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积． （3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确． 【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，； ②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，； ③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3； … （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8； ②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n． （3）x2﹣9x=﹣8， x2﹣9x+=﹣8+， （x﹣）2= x﹣=±， 所以x1=1，x2=8； 所以猜想正确． 故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；