2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第10讲函数与一次函数性质 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

【知识归纳】 一、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做 ，数值保持不变的量叫做 。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是 ，y是x的 。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做 或 。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做 。 3、函数的三种表示法 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做 。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做 。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做 。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1） ：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2） ：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3） ：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 二、正比例函数和一次函数的概念 1、一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的 . 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）.这时，y叫做x的 . 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数的图像是 ；正比例函数的图像是 . 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质： （1）当k＞0时，图像经过第 象限，y随x的增大而 ； （2）当k＜0时，图像经过第 象限，y随x的增大而 . 5、一次函数的性质 一般地，一次函数有下列性质： （1）当k＞0时，y随x的增大而 （2）当k＜0时，y随x的增大而 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是 . 【基础知识归纳答案】 一、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做 变量 ，数值保持不变的量叫做 常量 。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是 自变量 ，y是x的 函数 。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数关系式 或 函数解析式 。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做 自变量取值范围 。 3、函数的三种表示法 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做 解析法 。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做 列表法 。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做 图像法 。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1） 列 ：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2） 取 ：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3） 描 ：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 二、正比例函数和一次函数的概念 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）.这时，y叫做x的正比例函数. 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线. 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质： （1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小. 5、一次函数的性质 一般地，一次函数有下列性质： （1）当k＞0时，y随x的增大而增大 （2）当k＜0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 　真题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】E2：函数的概念． 【分析】函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应一个y． 【解答】解：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量． 选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因而不是函数关系． 故选C． 　Zxxk 2．使函数y=有意义的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≥0 C．x≤3 D．x≤0 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 3﹣x≥0， 解得x≤3， 故选：C． 　 3．小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【考点】E6：函数的图象． 【分析】根据用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象． 【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变， 当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢． 故选：D． 　 4．对于函数y=2x﹣1，下列说法正确的是（　　） A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小 C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0 【考点】F5：一次函数的性质． 学 科 网 【分析】根据一次函数的性质进行计算即可． 【解答】解：A、把x=1代入解析式得到y=1，即函数图象经过（1，1），不经过点（1，0），故本选项错误； B、函数y=2x﹣1中，k=2＞0，则该函数图象y值随着x值增大而增大，故本选项错误； C、函数y=2x﹣1中，k=2＞0，b=﹣1＜0，则该函数图象经过第一、三、四象限，故本选项错误； D、当x＞1时，2x﹣1＞1，则y＞1，故y＞0正确，故本选项正确． 故选：D． 　 5．在一次函数y=﹣x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】F5：一次函数的性质． 【分析】矩形OAPB的面积正好等于P点纵坐标的绝对值乘以P点横坐标的绝对值，还要保证P点在直线y=﹣x+3上． 【解答】解：设P点的坐标为（a，b ）则矩形OAPB的面积=|a|•|b|即|a|•|b|= ∵P点在直线y=﹣x+3上 ∴﹣a+3=b ∴|a|•|3﹣a|= （1）若a＞3，则|a|•|3﹣a|=a•（a﹣3）=，解得：a=，a=（舍去） （2）若3＞a＞0，则|a|•|3﹣a|=a•（3﹣a）=，解得：a= （3）若a＜0，则|a|•|3﹣a|=﹣a•（3﹣a）=，解得：a=（舍去），a=． ∴这样的点P共有3个． 故选B． 　 6．对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象必经过点（1，3） B．它的图象经过第一、二、四象限 C．当x＞0时，y＜0 D．y的值随x值的增大而增大 【考点】F5：一次函数的性质． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞0时，函数图象在y轴的左侧，y＜1，则可对C进行判断． 【解答】解：A、当x=1时，y=﹣3x+1=﹣2，则点（1，3）不在函数y=﹣3x+1的图象上，所以A选项错误； B、k=﹣3＜0，b=1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项正确； C、当x＞0时，y＜1，所以C选项错误； D、y随x的增大而减小，所以D选项错误． 故选B． 　 二．填空题（共3小题） 7．已知函数满足下列两个条件： ①x＞0时，y随x的增大而增大； ②它的图象经过点（1，2）． 请写出一个符合上述条件的函数的表达式　y=2x（答案不唯一）　． 【考点】F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质． 【分析】根据y随着x的增大而增大推断出k与0的关系，再利用过点（1，2）来确定函数的解析式． 【解答】解：∵y随着x的增大而，增大 ∴k＞0． 又∵直线过点（1，2）， ∴解析式为y=2x或y=x+1等． 故答案为：y=2x（答案不唯一）． 　 8．已知一次函数y=（2m﹣1）x﹣1+3m（m为常数），当x＜2时，y＞0，则m的取值范围为　≤m＜　． 【考点】F5：一次函数的性质． 【分析】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m﹣1＜0，≥2，从而得出m的取值范围． 【解答】解：∵x＜2时，y＞0， ∴2m﹣1＜0，≥2， ∴≤m＜． 故答案为≤m＜． 　 9．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y=x+上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为　　． 【考点】F5：一次函数的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线y=x+的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE． 【解答】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线y=x+的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S， ∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1， ∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形， ∴AD=OB，OA=BC， ∴AD+OA=OB+BC， ∵AE=AD， ∴AE+OA=OB+BC， 即OE=OB+BC， ∴OB+CB的最小值为OE， 由y=x+可知∠AFO=30°，F（﹣4，0）， ∴FD=3，∠FDG=60°， ∴DG=DF=， ∴DE=2DG=3， ∴ES=DE=，DS=DE=， ∴OS=， ∴OE==， ∴OB+CB的最小值为． 　 三．解答题（共8小题） 10．小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整： （1）函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是　任意实数　； （2）列表，找出y与x的几组对应值． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，b=　2　； （3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）写出该函数的一条性质：　函数的最小值为0（答案不唯一）　． 【考点】F5：一次函数的性质；F3：一次函数的图象． 【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论； （2）把x=﹣1代入函数解析式，求出y的值即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （4）根据函数图象即可得出结论． 【解答】解：（1）∵x无论为何值，函数均有意义， ∴x为任意实数． 故答案为：任意实数； （2）∵当x=﹣1时，y=|﹣1﹣1|=2， ∴b=2． 故答案为：2； （3）如图所示； （4）由函数图象可知，函数的最小值为0． 故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）． 　Z x x k 11．已知直线y=（a+2）x﹣4a+4． （1）a为何值时，这条直线经过原点？ （2）a为何值时，y随着x的增大而减小？ （3）a为何值时，这条直线与y轴有交点（0，﹣2）． 【考点】F5：一次函数的性质． 【分析】（1）由直线经过原点，可得出﹣4a+4=0，解之即可得出结论； （2）由y随着x的增大而减小，可得出a+2＜0，解之即可得出结论； （3）由直线经过点（0，﹣2），可得出﹣4a+4=﹣2，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵直线y=（a+2）x﹣4a+4经过原点， ∴﹣4a+4=0， 解得：a=1． ∴当a=1时，这条直线经过原点． （2）∵y随着x的增大而减小， ∴a+2＜0， 解得：a＜﹣2． ∴当a＜﹣2时，y随着x的增大而减小． （3）当x=0时，y=﹣4a+4=﹣2， 解得：a=． ∴当a=时，这条直线与y轴有交点（0，﹣2）． 　 12．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示． （1）求AB、BC的长； （2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值． 【考点】E7：动点问题的函数图象；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质． 【分析】（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB=8，AT=，在Rt△ABT中，根据勾股定理得到BT=，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．根据平行线的性质得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例定理得到．设M，N的横坐标分别为t1，t2，于是得到结论． 【解答】解：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB=8，AT=， 在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2， ∴BT=， ∵tan∠ABD=， ∴AD=6， 即BC=6； 学 科 网 （2）在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2． 则P1Q1∥P2Q2． ∵在图②中，线段MN平行于横轴， ∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴ P1P2∥BD． ∴． 即． 又∵CP1+CP2=7， ∴CP1=3，CP2=4． 设M，N的横坐标分别为t1，t2， 由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16， ∴t1=12，t2=20． 　 13．如果用c表示摄氏温度，f表示华氏温度，则c与f之间的关系为：c=（f﹣32），试分别求： （1）当f=68和f=﹣4时，c的值； （2）当c=10时，f的值． 【考点】E5：函数值． 【分析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得相应的函数值； （2）根据自变量与函数值得对应关系，可得相应的函数值． 【解答】解：（1）当f=68时，c=（f﹣32）=20， 当f=﹣4时，c=（f﹣32）=﹣20； （2）当c=10时，（f﹣32）=10，解得f=50． 　 14．有这样一个问题：探究函数y=﹣+|x|的图象与性质． 小军根据学习函数的经验，对函数y=﹣+|x|的图象与性质进行了探究． 下面是小军的探究过程，请补充完整： （1）函数y=﹣+|x|的自变量x的取值范围是　x≥﹣2　； （2）表是y与x的几组对应值 x ﹣2 ﹣1.9 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 1 2 3 4 … y 2 1.60 0.80 0 ﹣0.72 ﹣1.41 ﹣0.37 0 0.76 1.55 … 在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察图象，函数的最小值是　﹣　； （4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）：　当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小　． 【考点】E6：函数的图象；E4：函数自变量的取值范围． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可得到结论； （2）用描点法画出函数的图象即可； （3）根据函数的图象即可得到结论； （4）根据函数的图象得到函数的性质即可． 【解答】解：（1）由x+2≥0，得，x≥﹣2， ∴函数y=﹣+|x|的自变量x的取值范围是x≥﹣2， 故答案为：x≥﹣2； （2）该函数的图象如图所示； （3）由图象得，函数的最小值是﹣； 故答案为：﹣； （4）该函数的其它性质：当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小； 故答案为：当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小． 　 15．某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … （1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？ （2）写出座位数y与排数x之间的关系式； （3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【考点】E3：函数关系式． 【分析】（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况； （2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系； （3）利用（2）中所求，将y=90代入分析即可． 【解答】解：（1）由图表中数据可得：当x每增加1时，y增加3； （2）由题意可得：y=50+3（x﹣1）=3x+47； （3）某一排不可能有90个座位， 理由：由题意可得：y=3x+47=90， 解得：x=． 故x不是整数，则某一排不可能有90个座位． 　 16．为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s（km） 0 10 20 30 40 … 油箱剩余油量w（L） 50 49.2 48.4 47.6 46.8 … （1）该轿车油箱的容量为　50　L，行驶100km时，油箱剩余油量为　42　L； （2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量w（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的表达式　w=50﹣0.08s　； （3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，B两地之间的距离． 【考点】E3：函数关系式． 【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，由此填空； （2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式； （3）把w=26代入函数关系式求得相应的s值即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶100km时，油箱剩余油量为：50﹣×0.8=42（L）．、 故答案是：50；42； 学科 网 （2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式为w=50﹣0.08s； 故答案是：w=50﹣0.08s； （3）令w=26，得s=300． 答：A，B两地之间的距离为300km． 　 17．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是　汽车行驶路程　；因变量是　邮箱内剩油量　． （2）用表格表示汽车从出发地行驶10千米、20千米、30千米、40千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） 40 24 （3）试写出y与x的关系式式　y=56﹣0.08x　． （4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 【考点】E3：函数关系式；E1：常量与变量． 【分析】（1）关键已知椭圆得出即可； （2）关键题意列出算式，即可求出答案； （3）关键题意得出y=56﹣0.08x即可； （4）把x=350和y=8分别代入，即可求出答案． 【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是邮箱内剩油量， 故答案为：汽车行驶路程，邮箱内剩油量； （2）56﹣0.08×100=48，56﹣0.08×300=32， （3）y与x的关系式式是y=56﹣0.08x， 故答案为：y=56﹣0.08x； （4）当x=350时，y=56﹣0.08×350=28， 所以汽车行驶350千米时剩油28升； 当y=8时，56﹣0.08x=8， 解得：x=600， 所以汽车行驶600千米时剩油8升．