2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题十：数学文化问题.doc

难题突破专题十一　数学文化 数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解． 类型1　以科技或数学时事为题材　 例题1：贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）． 【考点】T8：解直角三角形的应用． 【分析】延长AD交BC所在直线于点E．解Rt△ACE，得出CE=AE•tan60°=15米，解Rt△ABE，由tan∠BAE==，得出∠BAE≈71°． 【解答】解：延长AD交BC所在直线于点E． 由题意，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠AEB=90°， 在Rt△ACE中，tan∠CAE=， ∴CE=AE•tan60°=15米． 在Rt△ABE中，tan∠BAE==， ∴∠BAE≈71°． 答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°． 例题2：（2016·浙江省绍兴市·4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．84 B．336 C．510 D．1326 【考点】用数字表示事件． 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510， 故选C． 类型2　以数学名著为题材　 例题3：（2017湖北荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2 C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2 【考点】KU：勾股定理的应用． 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2． 故选D． 例题4：．(2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数． 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理． 【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论． 【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5， ∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去）， Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13， Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3， ∵m＞0， ∴m=3，代入①②得，a=4，b=3， 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4． 类型3　　以数学名人为题材　 例题5：（2017湖南株洲） 如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　） A．5 B．4 C． D． 【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形． 【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题． 【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3， ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3， ∴△DQF∽△FQE， ∴===， ∵DQ=1， ∴FQ=，EQ=2， ∴EQ+FQ=2+， 故选D 相关内容训练 1. （2017四川眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 【考点】KU：勾股定理的应用． 【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B． 2. （2017内蒙古赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2） 【考点】T8：解直角三角形的应用． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题． 【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内． 理由：作AD⊥BC于点D， ∵∠C=50°，AC=20cm， ∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm， CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm， ∵BC=18cm， ∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm， ∴AB==， ∵17=＜， ∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内． 3. （2017湖北随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得． 【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E， 则GH=BE、BG=EH=10， 设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x， 在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x， ∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10， ∵∠DBE=45°， ∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35， 解得：x≈45， ∴CH=tan55°•x=1.4×45=63， 答：塔杆CH的高为63米． 4. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　25　尺． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺）， 因此葛藤长为=25（尺）． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 5. （2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm． （1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm） （2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm） （参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长； （2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决． 【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示， 由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°， ∴∠BOC=9° ∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm， 即所作圆的半径约为3.13cm； （2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示， ∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等， ∴折断的部分为BE， ∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°， ∴∠OAB=81°，∠OAD=72°， ∴∠BAD=9°， ∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm， 即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm． 6（2016·陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米． 如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度． 【考点】相似三角形的应用． 【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长． 【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°， ∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF， 故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH， 则=， =， 即=， =， 解得：AB=99， 答：“望月阁”的高AB的长度为99m．