2018届中考数学提升练习：专题(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明.doc

专题提升(十三)　以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 【经典母题】 如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长． 图Z13－1　　 　　 　经典母题答图 解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝＝15. ∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC， ∴△AEO∽△ACB， ∴＝，∴＝，解得R＝， ∴AO＝AB－OB＝15－R＝. 【思想方法】　利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长． 【中考变形】 图Z13－2 1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD. (1)求证：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC. 证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB， ∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB； (2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝， ∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC. 2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长． 图Z13－3 　　　中考变形2答图 解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点， ∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，[来源:Z*xx*k.Com] ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线； (2)由(1)知∠BEC＝90°， ∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， ∴△BEC∽△BCA，∴＝， ∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2， 设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x， ∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝ ，即AE＝ . 3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证：直线CD是⊙O的切线； (2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值． 图Z13－4 中考变形3答图 解：(1)证明：如答图，连结DO. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，[来源:学科网] ∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD. 又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线； (2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC， ∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝. 4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. (1)求证：△ACF∽△DAE； (2)若S△AOC＝，求DE的长； (3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线． 图Z13－5 中考变形4答图 解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°， 又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°， 又∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°， ∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°， ∴∠CAF＝∠AFC＝30°， ∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°， ∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE； (2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝OA2＝， ∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°， ∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3； (3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， ∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°， ∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF， 又∵∠OBE＝∠OME＝90°， ∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线． 5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D. (1)求证：CE∥BF； (2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面积． 图Z13－6 中考变形5答图 解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC， ∵BE＝EF， ∴∠F＝∠EBF， ∵∠AEB＝∠EBF＋∠F， ∴∠F＝ ∠AEB， ∵C是的中点，∴＝， ∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC， ∴∠AEC＝∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF； (2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE，∴＝，即＝， ∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB， ∴△CBE∽△CDB， ∴＝，即＝，[来源:Z*xx*k.Com] ∴CB＝2，∴AD＝6，∴AB＝8， ∵点C为劣弧AB的中点，[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∴OC⊥AB，设垂足为G，则AG＝BG＝AB＝4， ∴CG＝＝2， ∴S△BCD＝BD·CG＝×2×2＝2. 6．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求证：AC平分∠BAD； (2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由． 图Z13－7 　　中考变形6答图 解：(1)证明：如答图，连结OC. ∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD； (2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴＝，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB. 7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长． 图Z13－8 　　　中考变形7答图 解：(1)证明：如答图，连结OB， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°. ∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB. ∴PB是⊙O的切线； (2)⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4， ∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C， 又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO， ∴＝，即＝，∴BC＝2. 8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)求证：△PBD∽△DCA； (3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长． 图Z13－9 　　　 中考变形8答图 解：(1)证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是⊙O的直径，[来源:学科网] ∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； (2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC， ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°， ∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA； (3)∵△ABC为直角三角形， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10， ∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC， ∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°， 在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100， ∴DC＝DB＝5，∵△PBD∽△DCA， ∴＝，即PB＝＝＝. 【中考预测】 [2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明： (1)∠D＝∠AEC； (2)OA2＝OD·OF. 图Z13－10 　　　中考预测答图 证明：(1)如答图，连结OC， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC； (2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B， ∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90°， ∴△BOF∽△DOC，∴＝，即＝， ∴OA2＝OD·OF.