专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝15. AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，∴＝，解得R＝，∴AO＝AB－OB＝15－R＝.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1) AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°， ∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝，∴AD·BC＝AC·OD， OD＝1，∴AC＝AD·BC.图Z13－22．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC， AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°， D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，[来源:Z*xx*k.Com] OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°， 在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝BE·BA， AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x， BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝，即AE＝.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO. AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，[来源:学科网]∴∠COD＝∠COB.又 CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又 点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. DE＝2BC，∴DE＝2CD. AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作...
