2018年中考数学复习方法技巧九大专题：2018年中考数学复习方法技巧专题六：中点联想解析.doc

方法技巧专题六　中点联想训练 本文基于教学实践和反思提出了在初中数学教学中对“中点”的一些认识。并对中点问题进行了详细分类，对每种类型进行了举例、分析，特别是对各类中点问题的基本思路做了探讨和研究，并且针对学生在解题上存在的问题，提出了中点问题教学的几点建议：（1）在中点问题教学中，要积极培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力。（2）在中点问题教学中，要培养学生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。（3）在中点问题教学中，要给学生有专题性的训练，从而提高学生解中点问题的能力。  1．与中点有关的定理 (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)等腰三角形“三线合一”的性质．(3)三角形的中位线定理．(4)垂径定理及其推论． 2．与中点有关的辅助线 (1)构造三角形的中位线，如连结三角形两边的中点；取一边的中点，然后与另一边的中点相连结；过三角形一边的中点作另一边的平行线等等．(2)延长角平分线的垂线，构造等腰三角形的“三线合一”．(3)把三角形的中线延长一倍，构造平行四边形． 一、中点在普通三角形中的应用 【例题】（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（　　） A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线 【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答． 【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选A． 【同步训练】（2017齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点． （1）求证：DE=DF，DE⊥DF； （2）连接EF，若AC=10，求EF的长． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理． 【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在△BDG和△ADC中， ， ∴△BDG≌△ADC， ∴BG=AC，∠BGD=∠C， ∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点， ∴DE=BG=EG，DF=AC=AF， ∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD， ∴∠EDG+∠FDA=90°， ∴DE⊥DF； （2）解：∵AC=10， ∴DE=DF=5， 由勾股定理得，EF==5． 二、中点在等腰三角形中的应用 【例题】（2016·广西桂林·3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=　　． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换得到∠OCH=∠ABD，根据全等三角形的性质得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在BD上截取BE=CH，连接CO，OE， ∵∠ACB=90°CH⊥BD， ∵AC=BC=3，CD=1， ∴BD=， ∴△CDH∽△BDC， ∴， ∴CH=， ∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点， ∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°， ∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD， 在△CHO与△BEO中，， ∴△CHO≌△BEO， ∴OE=OH，∠BOE=∠HOC， ∵OC⊥BO， ∴∠EOH=90°， 即△HOE是等腰直角三角形， ∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=， ∴OH=EH×=， 故答案为：． 【同步训练】 （2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c． 【特例探究】 （1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=　4　，b=　4　； 如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=　　，b=　　； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展证明】 （3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题． ②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题． （2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题． （3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=2， ∵tan∠PAB=1， ∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°， ∴PF=PE=2，PB=PA=4， ∴AE=BF==2． ∴b=AC=2AE=4，a=BC=4． 故答案为4，4． 如图2中，连接EF， ，∵CE=AE，CF=BF， ∴EF∥AB，EF=AB=1， ∵∠PAB=30°， ∴PB=1，PA=， 在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°， ∴PE=，PF=， ∴AE==，BF==， ∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=， 故答案分别为，． （2）结论a2+b2=5c2． 证明：如图3中，连接EF． ∵AF、BE是中线， ∴EF∥AB，EF=AB， ∴△FPE∽△APB， ∴==， 设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y， ∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2， b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2， c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2， ∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2． （3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中， ， ∴△AGE≌△FGB， ∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点， 同理可证△APH≌△BFH， ∴AP=BF，PE=CF=2BF， 即PE∥CF，PE=CF， ∴四边形CEPF是平行四边形， ∴FP∥CE， ∵BE⊥CE， ∴FP⊥BE，即FH⊥BG， ∴△ABF是中垂三角形， 由（2）可知AB2+AF2=5BF2， ∵AB=3，BF=AD=， ∴9+AF2=5×（）2， ∴AF=4． 三、中点在直角三角形中的应用 【例题】（2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（　　） A．6 B．4 C．7 D．12 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点， ∴CD=AB=4.5． ∵CF=CD， ∴DF=CD=×4.5=3． ∵BE∥DC， ∴DF是△ABE的中位线， ∴BE=2DF=6． 故选A． 【同步训练】 （2017•黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，则∠CDE+∠ACD=（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【考点】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE=，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论． 【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE=， ∵AB=2，AC=1， ∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠A==， ∴∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∴∠DCE=60°， ∵DE=CE， ∴∠CDE=60°， ∴∠CDE+∠ACD=90°， 故选C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 四、中位线在三角形的应用 【例题】（2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（　　） A．6 B．4 C．7 D．12 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点， ∴CD=AB=4.5． ∵CF=CD， ∴DF=CD=×4.5=3． ∵BE∥DC， ∴DF是△ABE的中位线， ∴BE=2DF=6． 故选A． 【同步训练】 (2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（　　） A．50m B．48m C．45m D．35m 【考点】KX：三角形中位线定理． 【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m． 【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∵DE=24m， ∴AB=2DE=48m， 故选B． 五、中点在圆的性质中的应用 【例题】（2017广西百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长． 【考点】MI：三角形的内切圆与内心． 【分析】（1）易证∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解题； （2）连接OB、OC、OD、OF，易证AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根据AE长度即可解题． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形， ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F， ∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°， ∵四边形内角和为360°， ∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°， ∵=， ∴∠EOF=∠DOE， ∴∠B=∠C，AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形； （2）连接OB、OC、OD、OF，如图， ∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC， ∴E是BC中点，BE=CE， ∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，， ∴Rt△AOF≌Rt△AOD， ∴AF=AD， 同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2， Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE， ∴AD=AF，BD=CF， ∴DF∥BC， ∴=， ∵AE==4， ∴AM=4×=． 【同步训练】 （2017呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧的中点，AC与BD交于点E． （1）求证：DC2=CE•AC； （2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形； （3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论； （2）求出DC=，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理得出AB==2，得出OB=OC=OD=DC=BC=，证出△OCD、△OBC是正三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论； （3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵C是劣弧的中点， ∴∠DAC=∠CDB， ∵∠ACD=∠DCE， ∴△ACD∽△DCE， ∴=， ∴DC2=CE•AC； （2）证明：∵AE=2，EC=1， ∴AC=3， ∴DC2=CE•AC=1×3=3， ∴DC=， 连接OC、OD，如图所示： ∵C是劣弧的中点， ∴OC平分∠DOB，BC=DC=， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB==2， ∴OB=OC=OD=DC=BC=， ∴△OCD、△OBC是正三角形， ∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°， ∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°， ∵OA=OD， ∴△AOD是正三角形； （3）解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH， ∵∠COH=60°， ∴∠H=30°， ∵∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠H=∠BAC， ∴AC=CH=3， ∵AH=3，AH上的高为BC•sin60°=， ∴△ACH的面积=×3×=． 六、中点在四边形中的性质应用 【例题】（2017•温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　） A．12S B．10S C．9S D．8S 【考点】KR：勾股定理的证明． 【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题． 【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2 由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b， ∵AM=2EF， ∴2a=2b， ∴a=b， ∵正方形EFGH的面积为S， ∴b2=S， ∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S， 故选C． 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【同步训练】 （2016·山东省德州市·4分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【考点】平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【解答】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD， ∴AC=BD ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 七、中点在其它图形中的综合应用 【达标训练】 1. （2016·陕西·3分）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定． 【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC， 在△ABD和△BCD中， ， ∴△ABD≌△BCD， ∵AD∥BC， ∴∠MDO=∠M′BO， 在△MOD和△M′OB中， ， ∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′， ∴全等三角形一共有4对． 故选C． 2. （2016·山东省东营市·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝．其中正确的结论有( ) A.4个 B．3个 C．2个 D．1个 【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法 【答案】B. 【解析】∵矩形ABCD中，∴AD∥BC.∴△AEF∽△CAB….......................①正确； ∵△AEF∽△CAB，∴＝＝，∴CF＝2AF……………………………②正确； 过点D作DH⊥AC于点H.易证△ABF≌△CDH(AAS).∴AF＝CH. ∵EF∥DH,∴＝ ＝1.∴AF＝FH.∴FH＝CH. ∴DH垂直平分CF.∴DF＝DC. ……………………………………………③正确； 设EF＝1，则BF＝2.∵△ABF∽△EAF.∴＝.∴AF＝＝＝. ∴tan∠ABF＝＝.∵∠CAD＝∠ABF，∴tan∠CAD＝tan∠ABF＝.…………④错误. 故选择B. 【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键． 3. （2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是　（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质． 【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标． 【解答】解： ∵反比例函数y=图象关于原点对称， ∴A、B两点关于O对称， ∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2）， ∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB， 设P点坐标为（x，0）， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2）， ∴AB==2，PA=，PB=， 当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）； 当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）； 综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）． 4. （2017广西）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断． 【解答】解：∵B是的中点， ∴∠AOB=2∠BDC=80°， 又∵M是OD上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°． 则不符合条件的只有85°． 故选D． 5. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC=　14　． 【考点】KX：三角形中位线定理． 【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC． 【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE=7， ∴BC=2DE=14． 故答案是：14． 6. （2017.江苏宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=2，则线段EF的长是　2　． 【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线． 【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB的长，然后根据三角形的中位线定理求解． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，即CD是直角三角形斜边上的中线， ∴AB=2CD=2×2=4， 又∵E、F分别是BC、CA的中点，即EF是△ABC的中位线， ∴EF=AB=×2=2， 故答案为：2． 7. （2017宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为　8　． 【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点， ∴DM=AC=3， ∵ME=DM， ∴ME=1， ∴DE=DM+ME=4， ∵D是AB的中点，DE∥BC， ∴BC=2DE=8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. （2017哈尔滨）已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D． （1）如图1，求证：AD=BD； （2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论； （2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT，由圆周角定理可得∠BPT=90°，易得∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得∠ABO=∠OMB，等量代换可得∠ABO=∠APT，易得结论； （3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得∠MAB=∠MBA，作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得△APM≌△BNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，易得∠NBP=∠KBP，可得△PBN≌△PBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sin∠PMH=，sin∠ABO=，设DP=3a，则PM=5a，可得结果． 【解答】（1）证明：如图1，连接OA， ∵C是的中点， ∴， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB， ∴OD⊥AB，AD=BD； （2）证明：如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT ∵BT是⊙O的直径 ∴∠BPT=90°， ∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°， ∵BM是⊙O的切线， ∴OB⊥BM， 又∠OBA+∠MBA=90°， ∴∠ABO=∠OMB 又∠ABO=∠APT ∴∠APB﹣90°=∠OMB， ∴∠APB﹣∠OMB=90°； （3）解：如图3，连接MA， ∵MO垂直平分AB， ∴MA=MB， ∴∠MAB=∠MBA， 作∠PMG=∠AMB， 在射线MG上截取MN=MP， 连接PN，BN， 则∠AMP=∠BMN， ∴△APM≌△BNM， ∴AP=BN，∠MAP=∠MBN， 延长PD至点K， 使DK=DP， 连接AK、BK， ∴四边形APBK是平行四边形； AP∥BK， ∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°， 由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA） =90°， ∴∠APB+∠MBA=180° ∴∠PBK=∠MBA， ∴∠MBP=∠ABK=∠PAB， ∴∠MAP=∠PBA=∠MBN， ∴∠NBP=∠KBP， ∵PB=PB， ∴△PBN≌△PBK， ∴PN=PK=2PD， 过点M作MH⊥PN于点H， ∴PN=2PH， ∴PH=DP，∠PMH=∠ABO， ∵sin∠PMH=，sin∠ABO=， ∴， ∴，设DP=3a，则PM=5a， ∴MQ=6DP=18a， ∴． 9. （2017黑龙江佳木斯）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　4或4或4　． 【考点】KQ：勾股定理；KH：等腰三角形的性质． 【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OB=4， 又∵∠AOC=∠BOM=60°， ∴△BOM是等边三角形， ∴BM=BO=4， ∴Rt△ABM中，AM==4； 如图2，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OA=4， 又∵∠AOC=60°， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM=AO=4； 如图3，当∠ABM=90°时， ∵∠BOM=∠AOC=60°， ∴∠BMO=30°， ∴MO=2BO=2×4=8， ∴Rt△BOM中，BM==4， ∴Rt△ABM中，AM==4， 综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4． 故答案为：4或4或4． 10. （2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（　　） A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=CD 【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质． 【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确； 根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确； 由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误； 在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确． 【解答】解：∵AB=AC，∠CAB=45°， ∴∠B=∠ACB=67.5°． ∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴∠ACD=45°，AD=DC， ∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意； ∵E、F分别是BC、AC的中点， ∴FE=AB，FE∥AB， ∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°． ∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC， ∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°， ∵AB=AC， ∴FE=FD， ∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°， ∴∠FDE=∠FDC， ∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意； ∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°， ∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意； ∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC， ∴AC=CD， ∵AB=AC， ∴AB=CD，故D正确，不符合题意． 故选C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．