2018年中考数学二轮复习精练：专题4 三角形、四边形综合性.doc

专题四　三角形、四边形综合问题探究 1．(2017宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__． 2．(2016宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG. (1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； (2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值． 解：(1)四边形EBGD是菱形． 理由：∵EG垂直平分BD， ∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中， ∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG， ∴BE＝ED＝DG＝GB， ∴四边形EBGD是菱形； (2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小． 在Rt△EBM中， ∵∠EMB＝90°， ∠EBM＝30°，EB＝ED＝2， ∴EM＝BE＝. ∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC， ∴EM∥DN，EM＝DN＝，[来源:Zxxk.Com] MN＝DE＝2. 在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°， ∠DCN＝45°， ∴∠NDC＝∠NCD＝45°， ∴DN＝NC＝，∴MC＝3， 在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°， EM＝，MC＝3， ∴EC＝＝＝10. ∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC， ∴HG＋HC的最小值为10. 3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形； (2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点， ∴DG∥BC，DG＝BC. ∵E，F分别是OB，OC的中点， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； (2)∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°. ∵M为EF的中点，OM＝3， ∴EF＝2OM＝6. 由(1)有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6. 4．(2016宜宾中考模拟)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________； (2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________． 解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下： 过点C1，作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB. 由旋转性质可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，[来源:学科网ZXXK] ∴∠C1BC＝∠C1EB， ∴C1B＝C1E. ∵BC1＝BC＝B1C， ∴C1E＝B1C. 又∵C1E∥B1C， ∴四边形C1ECB是平行四边形， ∴C1B1∥BC. 5．(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF. (1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长； (2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1， ①求点F到AD的距离； ②求BF的长； (3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长． 解：(1)BF＝4； (2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H.[来源:学科网ZXXK] ∵四边形CEFG是正方形， ∴EC＝EF，∠FEC＝90°， ∴∠DEC＋∠FEH＝90°. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DEC＋∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠FEH. 又∵∠EDC＝∠EHF＝90°， ∴△ECD≌△FEH， ∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1， ∴ED＝AD－AE＝4－1＝3， ∴FH＝3， 即点F到AD的距离为3； ②延长FH交BC的延长线于点K， ∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°， ∴四边形CDHK为矩形， ∴HK＝CD＝4， ∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7. ∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4， ∴AE＝DH＝CK＝1， ∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5. 在Rt△BFK中，BF＝＝＝； (3)AE＝2＋或AE＝1. 6．(2017福建中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形． (1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长； (2)若AP＝，求CF的长． 解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°， ∴DC＝AB＝6，AC＝＝10. 要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况： ①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4， ②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD. ∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°， ∴∠PAD＝∠PDA，[来源:Z+xx+k.Com] ∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝＝5； ③当DP＝DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ. ∵S△ADC＝AD·DC＝AC·DQ， ∴DQ＝＝， ∴CQ＝＝，∴PC＝2CQ＝， ∴AP＝AC－PC＝. 综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或； (2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC. ∵四边形ABCD和PEFD都是矩形， ∴∠ADC＝∠PDF＝90°， 即∠ ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF， ∴∠ADP＝∠CDF. ∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED.[来源:学科网ZXXK] 在矩形PEFD中，PF＝DE， ∴OC＝PF.∵OP＝OF＝PF， ∴OC＝OP＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC. 又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°， ∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°， 即∠PCD＋∠FCD＝90°. 在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°， ∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF， ∴＝＝.∵AP＝， ∴CF＝.