2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第13讲二次函数综合应用 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

【知识归纳】 一．二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况： 公共点（即有两个交点）， 公共点， 公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有 个不等实根△=b2-4ac 0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有 实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点，一元二次方程ax2+bx+c=0 根△=b2-4ac 0. 二．二次函数的应用. 利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等. 【知识归纳答案】 一．二次函数与一元二次方程的关系 两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac＞0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac＜0. 二．二次函数的应用. 利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等. 真题解析 一．选择题（共5小题） 1．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　） A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：由对称轴，得 b=﹣2a． （m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a， 当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断． 当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b＞0． 故选：C． 　 2．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号． 【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∴ab＜0，故①错误； ∵抛物线和y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴＜1，故③正确； 故选C． 　 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0，结论①正确； ②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0，结论②错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确； ④∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴﹣＞0，结论④错误． 故选C． 　 4．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题． 【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为， ∵BE∥x轴， ∴点F纵坐标为， ∵点F是抛物线y=x2上的点， ∴点F横坐标为x==， ∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2， ∵点D是抛物线y=上的点， ∴点D横坐标为x==2a， ∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2， ∴则==×=， 故选 D． 　 5．如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解． 【解答】 解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n）， ∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3， ∴A（1，1），B（4，3）， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1）， ∴AC=4﹣1=3， ∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′=3AA′=9， ∴AA′=3， 即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4． 故选D． 　 二．填空题（共5小题） 6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣ }=　﹣　；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=　2或﹣1　． 【考点】H3：二次函数的性质；2A：实数大小比较． 【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣ }=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案． 【解答】解：min{﹣，﹣ }=﹣， ∵min{（x﹣1）2，x2}=1， 当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1， ∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2， 则（x﹣1）2=1， x﹣1=±1， x﹣1=1，x﹣1=﹣1， 解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去）， 当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2， 则x2=1， 解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1， 故答案为：；2或﹣1． 　 7．若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是　﹣1　．（写一个即可） 【考点】H3：二次函数的性质． 【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是﹣1， 故答案为：﹣1． 　 8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论： ①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1． 则所有正确结论的序号是　①②④　． 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣，可得出m=﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4）， ∴， ∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2． ∵a＞0， ∴b＜1，c＜2， ∴结论①②正确； ∵抛物线的顶点坐标为（m，n）， ∴m=﹣=﹣=﹣， ∴m＜，结论③不正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n）， ∴n≤1，结论④正确． 综上所述：正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 　 9．已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　2≤m≤8　． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围． 【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m， 将B点坐标代入，得 4﹣m=2，解得m=2， 将D点坐标代入，得 9﹣m=1，解得m=8， y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8， 故答案为：2≤m≤8． 　 10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　②⑤　．（只填写序号） 【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点． 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误． 观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确． 根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误， 观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误， 因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确， 所以②⑤正确， 故答案为②⑤． 　 三．解答题（共7小题） 11．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题： （1）max{5，2}=　5　，max{0，3}=　3　； （2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围； （3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值． 【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象． 【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论； （2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值． 【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3． 故答案为：5；3． （2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1， ∴3x+1≤﹣x+1， 解得：x≤0． （3）联立两函数解析式成方程组， ，解得：，， ∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）． 画出直线y=﹣x+2，如图所示， 观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1． 　 （2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1， y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0）， 当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2； 当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a； （3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大， （1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 由m＜n，得0＜x0≤； 当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小， 由m＜n，得＜x0＜1， 综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1． 　 13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点C和点D的坐标； （3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标． 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，） 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程； （2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标； （3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标． 【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）令x=0，则y=3， ∴C（0，3）， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； （3）设P（x，y）（x＞0，y＞0）， S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y， ∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×， ∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3， 解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2， ∴P（2，3）． 　 14．如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8． （1）直接写出A、B两点的坐标； （2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C． ①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式； ②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标． 【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰三角形的性质． 【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题； （2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题； ②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°， ∴AO=BO， ∴•OA•OB=8， ∴OA=OB=4， ∴A（4，0），B（0，4）． （2）①由题意抛物线经过C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0）， 顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4． ②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4）， 设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m， ∴抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x， 由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0， 由题意△=0，∴16m2+16m=0， ∵m≠0， ∴m=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x， 由，解得， ∴N（2，2）． 　 15．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴； （2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式； （3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值． 【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点； （2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折理论即可解题； （3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题； 【解答】解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴对称轴为x=2； ∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5； ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5， 整理得：y=ax（x﹣4）﹣5； ∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5； ∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）； ②这两个点连线为y=﹣5； 将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变； ∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5， （3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 则x=2时，y=2或者﹣2； 当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； 当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=； ∴a=或； 　 16．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值； （2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本） 【考点】HE：二次函数的应用． 当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2， 将点（50，25）、代入，得：， 解得：， ∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30； ②由题意，当0≤t≤50时， W=20000（t+15）﹣=3600t， ∵3600＞0， ∴当t=50时，W最大值=180000（元）； 当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣ =﹣10t2+1100t+150000 =﹣10（t﹣55）2+180250， ∵﹣10＜0， ∴当t=55时，W最大值=180250（元）， 综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元． 　 17．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． 时间t（天） 0 5 10 15 20 25 30 日销售量 y1（百件） 0 25 40 45 40 25 0 （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围； （2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． 【考点】HE：二次函数的应用． 【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到结论； （2）当0≤t≤10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30， （3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大=80；当10＜t≤30时，得到y最大=91.2，于是得到结论． 【解答】解（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：， 解得， ∴y1与t的函数关系式为：y1=﹣t2+6t（0≤t≤30，且为整数）； （2）当0≤t≤10时，设y2=kt， ∵（10，40）在其图象上， ∴10k=40， ∴k=4， ∴y2与t的函数关系式为：y2=4t， 当10≤t≤30时，设y2=mt+n， 将（10，40），（30，60）代入得，解得， ∴y2与t的函数关系式为：y2=k+30， 综上所述，y2=； （3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，y=﹣t2+6t+4t=﹣t2+10t=﹣（t﹣25）2+125， ∴t=10时，y最大=80； 当10＜t≤30时，y=﹣t2+6t+t+30=﹣t2+7t+30=﹣（t﹣）2+， ∵t为整数， ∴t=17或18时，y最大=91.2， ∵91.2＞80， ∴当t=17或18时，y最大=91.2（百件）．