2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组a卷）.doc

2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组A卷） 一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1．（10分）森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子、大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（　　） A．狮子、老虎 B．老虎、豹子 C．狮子、豹子 D．老虎、大象 2．（10分）小明有多张面额为1元、2元、5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（　　）种． A．3 B．9 C．11 D．8 3．（10分）如图，在由1×1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接1×1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1 的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（　　） A．47 B． C．48 D． 4．（10分）新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员100人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多10人，那么舞蹈队招收（　　）人．（注：每人限加入一个队） A．30 B．42 C．46 D．52 5．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（　　） A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分 6．（10分）一次考试共有6道选择题，评分规则如下：每人先给6分，答对一题加4分．答错一题减1分，不答得0分．现有51名同学参加考试，那么，至少有（　　）人得分相同． A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每小题10分，共40分） 7．（10分）计算：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝　 　． 8．（10分）角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，如图1的∠AOB符号（“∠”表示角）也可以用∠O表示（顶点处只有一个角时）．如图2的三角形ABC中，∠BAO＝∠CAO，∠CBO＝∠ABO，∠ACO＝∠BCO，∠AOC＝110°则∠CBO＝　 　． 9．（10分）张叔叔和李叔叔两人年龄和是56岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔的年龄，那么张叔叔现在有　 　岁？ 10．（10分）妈妈决定假期带小花驾车去10个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这10个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这10个城市间至少开通了　 　条高速公路．（注：两个城市间最多只有一条高速公路） 2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组A卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.） 1．（10分）森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子、大象中的两个动物去参加，如果派狮子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加的话，大象可不愿意去．那么，最后能去参加比赛的是（　　） A．狮子、老虎 B．老虎、豹子 C．狮子、豹子 D．老虎、大象 【分析】通过分析可知： 从题意出发：（1）狮子去则老虎去，逆否命题：老虎不去则狮子也不去， （2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派老虎则要派豹子， （3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题：大象去则不能派豹子从（2）出发可以看出答案为B．据此解答即可． 【解答】解：题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去．三个动物去，矛盾，所以狮子不去． 若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去．豹子去则大象不去，由两种动物去得到结论，老虎要去．所以答案是B，豹子和老虎去． 故选：B． 2．（10分）小明有多张面额为1元、2元、5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（　　）种． A．3 B．9 C．11 D．8 【分析】分三种情况讨论：不多于10张 ①1元和2元的；②1元和5元的；③2元和5元，结合张数及其最后面值是18元讨论即可． 【解答】解：①1元和2元的：8张2元2张1元 ②1元和5元的：2张5元8张1元；3张5元3张1元 ③2元和5元：2张5元4张2元 ④1元、2元和5元： 3张5元1张2元1张1元 2张5元3张2元2张2元 2张5元2张2元4张1元 2张5元1张2元6张1元 1张5元6张2元1张1元 1张5元5张2元3张1元 1张5元4张2元5张5元 共有：1+2+1+7＝11（种） 故选：C． 3．（10分）如图，在由1×1的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接1×1的正方形相邻两边中点的线段，或者是1×1 的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是（　　） A．47 B． C．48 D． 【分析】将每个数字中的阴影小三角形进行位置的移动，组合成小正方形，然后数出一共有多少个小正方形，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：据分析可知： 将小三角形移到空白处补全完整正方形，共47.5个， 所以阴影部分的面积是47； 故选：B． 4．（10分）新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员100人，如果合唱队招收的人数比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多10人，那么舞蹈队招收（　　）人．（注：每人限加入一个队） A．30 B．42 C．46 D．52 【分析】把田径队的人数看作1倍数，则合唱队的人数就是2倍数，舞蹈队的人数就是（2倍数+10人），那么（100﹣10）人就是田径队人数的（2+2+1）倍，由此用除法可求得田径队的人数，进而求得舞蹈队的人数；据此解答． 【解答】解：（100﹣10）÷（2+2+1） ＝90÷5 ＝18（人） 18×2+10 ＝36+10 ＝46（人） 答：舞蹈队招收46人． 故选：C． 5．（10分）一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（　　） A．快12分 B．快6分 C．慢6分 D．慢12分 【分析】分针与时针除12时（包括24时或0时）外，每小时重合1次，因此，24小时重合22次，旧钟每隔标准时间66分钟重合1次，因此，旧钟24小时是标准时间22×66＝1452（分钟），而标准钟24小时是60×24＝1440（分钟），两者之差就是这只旧钟慢的时间． 【解答】解：66×（24﹣2） ＝66×22 ＝1452（分钟） 60×24＝1440（分钟） 1452﹣1440＝12（分钟） 即这只旧钟的24小时比标准时间的24小时慢12分钟． 故选：D． 6．（10分）一次考试共有6道选择题，评分规则如下：每人先给6分，答对一题加4分．答错一题减1分，不答得0分．现有51名同学参加考试，那么，至少有（　　）人得分相同． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】按这种记分方法，最高可得（30分），最低是倒扣6分后得0分，共有30+1＝31（种）不同分数．由于每错一题少得：1+4＝5分，有一道题不答，至多扣4分，所以最高分是30分，第二高分是：30﹣4＝26分或30﹣5＝25分，这样，30分～26分之间的数29、28，27分就不可能得到；同理，23，24，19分也不能得到，故实际有31﹣6＝25（种）不同分数．然后根据抽屉原理，考虑最不利的情况解答即可． 【解答】解：按这种记分方法，最高可得6×4+6＝30（分），最低是减6分后得0分，共有30+1＝31（种）不同分数． 由于每错一题少得：1+4＝5分，有一道题不答，至多扣4分，所以最高分是30分，第二高分是：30﹣4＝26分或30﹣5＝25分，这样，30分～26分之间的数29、28，27分就不可能得到；同理，23，24，19分也不能得到，故实际有31﹣6＝25（种）不同分数． 则51÷25＝2…1， 则至少有3人得分相同． 故选：A． 二、填空题（每小题10分，共40分） 7．（10分）计算：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）＝　1000000　． 【分析】首先根据乘法分配律，把（1000+15+314）×（201+360+110）化成1000×（201+360+110）+（15+314）×（201+360+110），然后再应用乘法分配律，求出算式（15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314）的值是多少；最后用所求的结果和1000×（201+360+110）求和，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（1000+15+314）×（201+360+110）+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314） ＝1000×（201+360+110）+（15+314）×（201+360+110））+（1000﹣201﹣360﹣110）×（15+314） ＝1000×（201+360+110）+（15+314）×[（201+360+110））+（1000﹣201﹣360﹣110）] ＝1000×671+329×1000 ＝1000×（671+329） ＝1000×1000 ＝1000000 故答案为：1000000． 8．（10分）角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示，如图1的∠AOB符号（“∠”表示角）也可以用∠O表示（顶点处只有一个角时）．如图2的三角形ABC中，∠BAO＝∠CAO，∠CBO＝∠ABO，∠ACO＝∠BCO，∠AOC＝110°则∠CBO＝　20°　． 【分析】由题意知，如图，在三角形AOC中，∠AOC＝110°，由三角形的内角和为180°，可知∠CAO+∠ACO＝180°﹣110°＝70°，由∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝∠BCO，则有∠BAO+∠BCO＝∠CAO+∠ACO＝70°，可得∠BAC+∠BCA＝70°+70°＝140°，因此∠ABC＝180°﹣140°＝40°，又∠CBO＝∠ABO，所以∠CBO＝40°÷2＝20°．由此即可解决． 【解答】解：在三角形AOC中， ∠CAO+∠ACO＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣110° ＝70°， 因为∠BAO＝∠CAO，∠ACO＝∠BCO， 所以∠BAO+∠BCO＝∠CAO+∠ACO＝70°， 所以∠BAC+∠BCA＝70°+70°＝140°， 在三角形ABC中，∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠BCA） ＝180°﹣140° ＝40°， 所以∠CBO＝∠ABO＝40°÷2＝20°． 答：∠CBO的度数是20°． 故答案为：20°． 9．（10分）张叔叔和李叔叔两人年龄和是56岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔的年龄，那么张叔叔现在有　24　岁？ 【分析】二人年龄差不变，设这个差等于x．由题意容易判定李叔叔的年龄大．由“当张叔叔的年龄是李叔叔现在年龄的一半时，李叔叔恰是张叔叔现在的年龄”可知，当x年前，李叔叔的年龄（减少x岁）是张叔叔现在的岁数时，张叔叔的年龄也要减去一个x而降为李叔叔现在岁数的一半，即李叔叔现在的年龄＝2×（李叔叔现在的年龄﹣x﹣x），可得李叔叔的年龄是4x，张叔叔的年龄是4x﹣x＝3x，由此可得方程：3x+4x＝98，解此方程后即能求得张叔叔现在各多少岁． 【解答】解：设两人的年龄差为x，根据题意可知， 李叔叔现在的年龄＝2×（李叔叔现在的年龄﹣x﹣x）， 李叔叔现在的年龄＝4x，则张叔叔的年龄是4x﹣x＝3x，可得方程： 3x+4x＝56 7x＝56 x＝8． 则张叔叔的年龄为：8×3＝24（岁）； 李叔叔的年龄为：8×4＝32（岁）． 答：张叔叔现在24岁． 故答案为：24． 10．（10分）妈妈决定假期带小花驾车去10个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这10个城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高速路，那么这10个城市间至少开通了　40　条高速公路．（注：两个城市间最多只有一条高速公路） 【分析】设10个城市为：A1，A2，A3，…，A10．先考虑A1，A1至少要开通8条高速公路，因为若A1只开通7条高速公路，那么A1和A2～A10中的两个城市没有开通，设A1和A2，A3没有开通，那么A1，A2，A3，三个城市不满足要求．同理，每个城市都至少要开通8条，这10个城市间至少开通：8×10÷2＝40条，据此解答即可． 【解答】解：8×10÷2＝40（条） 答：那么这10个城市间至少开通了40条高速公路． 故答案为：40． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 11:00:35；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第8页（共8页）