2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）.doc

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组） 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）　 　． 2．（10分）计算： 10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝　 　． 3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有　 　人． 4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有　 　种． 5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　 　． 6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为　 　． 7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是　 　秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）． 8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是　 　． 二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢． 10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为　 　平方厘米． 11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？ 12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数． 2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组） 参考答案与试题解析 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）　56　． 【分析】第一个因数扩大4倍，所以积也扩大4倍，是42×4，然后第二个因数又缩小了3倍，所以积也缩小3倍，是42×4÷3，据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得， 42×4÷3 ＝168÷3 ＝56； 故答案为：56． 2．（10分）计算： 10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝　132　． 【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答． 【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2 ＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1） ＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1） ＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3 ＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3 ＝（72﹣42+20﹣6）×3 ＝44×3 ＝132； 故答案为：132． 3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有　60　人． 【分析】总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍． 所以④的情况有6×2＝12（组）． ③的情况有19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解． 【解答】解：总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生． 根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，有男生10×1＝10（人） 不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组， 可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），这6组没有男生； 又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍； 所以④的情况有6×2＝12（组），有男生12×3＝36（人） ③的情况有19﹣12＝7（组），7×2＝14（人） 男生共有10+36+14＝60（人） 答：男生有60人． 故答案为：60． 4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有　36　种． 【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有＝56种，然后用56减去没有连续自然数的取法解答即可． 【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共4个； （2）三个偶数：246、248、268、468，共4个； （3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共6个； （4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共6个； 综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种） 从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法：＝＝56（种） 所以有连续自然数的取法有56﹣20＝36（种）； 答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36种． 故答案为：36． 5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　15　． 【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可． 【解答】解：根据分析可得， 所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15； 所以，和的最大值是 15． 故答案为：15． 6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为　16　． 【分析】因为将一个数分解出若干个2与3的乘积，而不含1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答． 【解答】解：因为324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16， 故答案为：16． 7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是　114　秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）． 【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第45分39秒到47分33秒，用47分33秒减去45分39秒，即可求出接近段这部分时间是多少． 【解答】解：47分33秒﹣45分39秒＝1分54秒＝114秒 答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114秒． 故答案为：114． 8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是　110　． 【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可． 【解答】解：6个数的和为： 1+2+3+4+5+6＝21， 21分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10， 即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组， 所以，乘积最大为： （1+2+3+4）×（5+6） ＝11×10 ＝110； 答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110． 股单位：110． 二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢． 【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题． 【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个） 1024÷（10+1）＝93…1 甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个； 以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差； 最后都得给甲剩下1～10个， 这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形． 10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为　56　平方厘米． 【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和． 【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割， 通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积 ＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米） 故答案是：56． 11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？ 【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是10米，因为1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为45米，所以划出的长方形的长与宽分别是45米、10米，据此计算即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35， 45﹣35＝10， 所以原正方形的边长为45米， 则划出的面积是：45×10＝450（平方米）， 答：划出的长方形土地的面积是450平方米． 12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数． 【分析】首先，这个数是19的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，找出418以内所有19的倍数，看是否符合题意即可解答． 【解答】解：这个数是19的倍数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418， 19×6＝114 （√）1+1+4＝6 19×7＝133 （√）1+3+3＝7 19×8＝152 （√）1+5+2＝8 19×9＝171 （√）1+7+1＝9 19×10＝190 （√）1+9+0＝10 19×11＝209 （√）2+0+9＝11 19×12＝228 （√）2+2+8＝12 19×13＝247 （√）2+4+7＝13 19×14＝266 （√）… 19×15＝285 （√）… 19×16＝304 3+0+4＝7≠16 19×17＝323 … 19×18＝342 … 19×19＝361 … 19×20＝380 … 19×21＝399 （√）3+9+9＝21 19×22＝418 4+1+8＝13≠22 所以所有的结果是： 114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399共11个数， 答：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800 第9页（共9页）